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Un système d'équations est un ensemble de plusieurs équations à résoudre simultanément.
🔹 Système de deux équations à deux inconnues :
{ ax + by = c
{ dx + ey = f
🔹 Méthode 1 — Substitution :
1. Exprimer une inconnue en fonction de l'autre dans une équation.
2. Substituer dans l'autre équation.
3. Résoudre, puis revenir trouver la 1ère inconnue.
Exemple :
{ x + y = 7 → x = 7 - y
{ 2x - y = 5 → 2(7-y) - y = 5 → 14 - 3y = 5 → y = 3 → x = 4
Solution : (x = 4 ; y = 3)
🔹 Méthode 2 — Combinaison/Élimination :
Additionner ou soustraire les équations pour éliminer une inconnue.
Exemple :
{ 3x + 2y = 16 (×1)
{ x - 2y = 0 (×1)
Addition : 4x = 16 → x = 4
Dans (2) : 4 - 2y = 0 → y = 2
Solution : (x = 4 ; y = 2)
🔹 Vérification :
Substituer x et y dans les DEUX équations pour vérifier.
📝 Problème concret :
Moussa achète 3 cahiers et 2 stylos pour 1 800 F.
Fatou achète 1 cahier et 5 stylos pour 1 500 F.
Trouver le prix d'un cahier (c) et d'un stylo (s).
{ 3c + 2s = 1800 …(1)
{ c + 5s = 1500 …(2)
De (2) : c = 1500 - 5s
Dans (1) : 3(1500-5s) + 2s = 1800
4500 - 15s + 2s = 1800
-13s = -2700 → s ≈ 207,7 F
c = 1500 - 5(207,7) ≈ 461,5 F
💡 Un système 2×2 a en général UNE seule solution (x,y).
Résoudre par substitution : { x + y = 10 / { 2x - y = 5
Correction
x = 10-y → 2(10-y)-y=5 → 20-3y=5 → y=5, x=5. Solution (5 ; 5).
Résoudre par combinaison : { 4x + 3y = 18 / { 4x - y = 6
Correction
Soustraction : 4y=12 → y=3. Dans (2) : 4x-3=6 → x=9/4. Solution (9/4 ; 3).
Vérifier que (2 ; -1) est solution de : { 3x + 2y = 4 / { x - y = 3
Correction
3(2)+2(-1)=6-2=4 ✓ ; 2-(-1)=3 ✓. Oui, c'est bien la solution.
Deux nombres ont une somme de 45 et une différence de 11. Trouver ces deux nombres.
Correction
{ x+y=45 / { x-y=11. Addition : 2x=56 → x=28. y=17. Les nombres sont 28 et 17.
Résoudre : { 2x + 3y = 7 / { 3x - y = 5
Correction
De (2) : y=3x-5. Dans (1) : 2x+3(3x-5)=7 → 11x=22 → x=2, y=1. Solution (2 ; 1).