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En 2nde, on approfondit la connaissance des ensembles de nombres et on introduit la notion d'intervalle.
🔹 Les ensembles de nombres :
• ℕ = {0, 1, 2, 3, ...} — entiers naturels
• ℤ = {..., -2, -1, 0, 1, 2, ...} — entiers relatifs
• ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℤ*} — rationnels (fractions)
• ℝ — réels (inclut rationnels et irrationnels comme √2, π)
• Inclusion : ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ
🔹 Nombres irrationnels :
• √2 ≈ 1,414... (ne s'écrit pas comme fraction)
• π ≈ 3,14159...
🔹 Intervalles de ℝ :
• [a ; b] : fermé (inclut a et b) — a ≤ x ≤ b
• ]a ; b[ : ouvert (exclut a et b) — a < x < b
• [a ; b[ : semi-ouvert — a ≤ x < b
• [a ; +∞[ : x ≥ a
• ]-∞ ; b] : x ≤ b
• ]-∞ ; +∞[ = ℝ
🔹 Intersection et réunion :
• A ∩ B : éléments appartenant à A ET à B
• A ∪ B : éléments appartenant à A OU à B
Exemple : [1 ; 5] ∩ [3 ; 7] = [3 ; 5]
[1 ; 5] ∪ [3 ; 7] = [1 ; 7]
📝 Exercices d'application :
1. Classer dans ℕ, ℤ, ℚ ou ℝ (choisir le plus petit ensemble) :
• -5 → ℤ
• 3/4 → ℚ
• √5 → ℝ (irrationnel)
• 0 → ℕ
• -2/3 → ℚ
2. Écrire en notation d'intervalle :
• -3 ≤ x < 2 → [-3 ; 2[
• x > 5 → ]5 ; +∞[
• x ≤ -1 → ]-∞ ; -1]
3. Calculer A ∩ B et A ∪ B :
A = [-2 ; 4], B = [1 ; 6]
A ∩ B = [1 ; 4]
A ∪ B = [-2 ; 6]
4. √2 est-il rationnel ? Non — sa décimale est infinie et non périodique.
Donner un exemple de nombre irrationnel et expliquer pourquoi il ne peut pas s'écrire comme fraction.
Correction
√2 est irrationnel. On peut démontrer par l'absurde qu'il ne s'écrit pas sous forme p/q avec p et q entiers : si √2 = p/q (fraction irréductible), alors 2 = p²/q², donc p² = 2q², ce qui implique p pair, puis q pair — contradiction avec l'irréductibilité.
Écrire en notation d'intervalle : l'ensemble des réels x vérifiant -1 < x ≤ 3.
Calculer A ∩ B avec A = ]-∞ ; 5] et B = [2 ; +∞[.
Correction
A ∩ B = [2 ; 5]
-7 appartient-il à ℕ ? à ℤ ? à ℚ ?
Correction
-7 n'appartient pas à ℕ (pas entier naturel). Il appartient à ℤ (entier relatif) et à ℚ (s'écrit -7/1).
Écrire sous forme d'intervalle : l'ensemble des réels strictement positifs.