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La valeur absolue est une notion nouvelle en 2nde, très utilisée en analyse et en géométrie.
🔹 Définition :
|x| = x si x ≥ 0
|x| = -x si x < 0
Interprétation géométrique : |x| est la distance de x à 0 sur la droite numérique.
|x - a| est la distance de x à a.
🔹 Propriétés :
• |x| ≥ 0 pour tout réel x
• |x| = 0 ⟺ x = 0
• |-x| = |x|
• |ab| = |a| × |b|
• |a + b| ≤ |a| + |b| (inégalité triangulaire)
🔹 Équations avec valeur absolue :
|f(x)| = k (k ≥ 0) ⟺ f(x) = k ou f(x) = -k
Exemple : |2x - 1| = 3
→ 2x - 1 = 3 → x = 2
→ 2x - 1 = -3 → x = -1
🔹 Inéquations avec valeur absolue :
• |x| < a ⟺ -a < x < a (intervalle)
• |x| > a ⟺ x < -a ou x > a (réunion)
Exemple : |x - 2| < 3 ⟺ -3 < x-2 < 3 ⟺ -1 < x < 5
📝 Calculer :
1. |−7| = 7
2. |3 − 8| = |−5| = 5
3. |2 × (−4)| = |−8| = 8
📝 Résoudre :
1. |x + 3| = 5
x + 3 = 5 → x = 2
x + 3 = -5 → x = -8
2. |3x − 6| = 0
3x - 6 = 0 → x = 2 (solution unique)
3. |x − 1| < 4
-4 < x - 1 < 4 → -3 < x < 5
Solution : ]-3 ; 5[
4. |2x + 1| ≥ 3
2x + 1 ≤ -3 → x ≤ -2
ou 2x + 1 ≥ 3 → x ≥ 1
Solution : ]-∞ ; -2] ∪ [1 ; +∞[
Calculer |−5 + 2| et |−5| + |2|. Que remarque-t-on ?
Correction
|−5 + 2| = |−3| = 3. |−5| + |2| = 5 + 2 = 7. On a 3 ≤ 7, ce qui illustre l'inégalité triangulaire |a+b| ≤ |a| + |b|.
Résoudre |2x − 4| = 6.
Correction
2x − 4 = 6 → x = 5. ou 2x − 4 = −6 → x = −1. Solutions : x = 5 ou x = −1.
Résoudre |x + 2| ≤ 3.
Correction
−3 ≤ x + 2 ≤ 3 → −5 ≤ x ≤ 1. Solution : [−5 ; 1].
Interpréter géométriquement |x − 3| < 2.
Correction
|x − 3| représente la distance de x à 3. L'inéquation signifie que x est à une distance strictement inférieure à 2 de 3, c'est-à-dire x ∈ ]1 ; 5[.
Résoudre |3x + 1| > 0.
Correction
|3x+1| > 0 pour tout x sauf quand 3x+1 = 0, c'est-à-dire x = −1/3. Solution : ℝ \ {−1/3}.