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Les vecteurs sont des objets mathématiques caractérisés par une direction, un sens et une longueur (norme).
🔹 Définition :
Un vecteur AB⃗ est défini par son point de départ A et son point d'arrivée B.
• Direction : la droite (AB)
• Sens : de A vers B
• Norme : |AB⃗| = longueur du segment AB
🔹 Vecteurs égaux :
Deux vecteurs sont égaux s'ils ont même direction, même sens et même norme.
AB⃗ = CD⃗ ⟺ ABDC est un parallélogramme
🔹 Vecteur nul : O⃗ (point de départ = point d'arrivée)
🔹 Vecteur opposé : -AB⃗ = BA⃗
🔹 Addition de vecteurs (relation de Chasles) :
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗
u⃗ + v⃗ = v⃗ + u⃗ (commutativité)
🔹 Multiplication par un scalaire :
k × u⃗ : même direction, norme multipliée par |k|, sens inversé si k < 0
🔹 Colinéarité :
u⃗ et v⃗ sont colinéaires ⟺ ∃ réel k tel que v⃗ = k × u⃗
(vecteurs ayant la même direction ou direction opposée)
📝 Soit A, B, C, D tels que AB⃗ = DC⃗. Que peut-on dire du quadrilatère ABCD ?
→ ABCD est un parallélogramme (côtés AB et DC parallèles et égaux).
📝 Simplifier en utilisant la relation de Chasles :
1. AB⃗ + BC⃗ + CD⃗ = AD⃗
2. AB⃗ + BA⃗ = AA⃗ = O⃗
3. MA⃗ + MB⃗ = ?
Si M est le milieu de AB, alors MA⃗ + MB⃗ = O⃗
📝 Soit u⃗ = (2 ; 3) et v⃗ = (-1 ; 4).
• u⃗ + v⃗ = (2+(-1) ; 3+4) = (1 ; 7)
• 2u⃗ = (4 ; 6)
• u⃗ - v⃗ = (2-(-1) ; 3-4) = (3 ; -1)
Quelle est la relation de Chasles ? L'énoncer et donner un exemple.
Correction
Pour tout point A, B, C : AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Exemple : si on va de Paris à Lyon puis de Lyon à Marseille, c'est comme aller directement de Paris à Marseille.
ABCD est un parallélogramme. Simplifier : AB⃗ + AD⃗.
Correction
Dans un parallélogramme, les diagonales se coupent en leur milieu. AB⃗ + AD⃗ = AC⃗ (diagonale). C'est la règle du parallélogramme.
Simplifier : AB⃗ + BC⃗ + CA⃗.
Correction
AB⃗ + BC⃗ = AC⃗. Puis AC⃗ + CA⃗ = AA⃗ = O⃗.
u⃗ = (3 ; -2). Calculer |u⃗|.
Correction
|u⃗| = √(3² + (-2)²) = √(9 + 4) = √13.
u⃗ = (2 ; 4) et v⃗ = (1 ; 2). Ces vecteurs sont-ils colinéaires ?
Correction
v⃗ = (1 ; 2) = (1/2)(2 ; 4) = (1/2)u⃗. Oui, ils sont colinéaires.