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Dans un repère orthonormé (O ; i⃗ ; j⃗), tout point et tout vecteur ont des coordonnées.
🔹 Coordonnées d'un point :
A(xₐ ; yₐ) signifie OA⃗ = xₐ × i⃗ + yₐ × j⃗
🔹 Coordonnées du vecteur AB⃗ :
AB⃗ = (xB - xA ; yB - yA)
🔹 Milieu d'un segment :
Le milieu M de [AB] a pour coordonnées :
xM = (xA + xB) / 2 ; yM = (yA + yB) / 2
🔹 Distance entre deux points :
AB = √[(xB - xA)² + (yB - yA)²]
🔹 Opérations sur les vecteurs (en coordonnées) :
Si u⃗ = (a ; b) et v⃗ = (c ; d) :
• u⃗ + v⃗ = (a+c ; b+d)
• k × u⃗ = (ka ; kb)
• |u⃗| = √(a² + b²)
🔹 Condition de colinéarité (déterminant) :
u⃗(a ; b) et v⃗(c ; d) colinéaires ⟺ ad - bc = 0
📝 A(1 ; 3), B(5 ; -1), C(-2 ; 2)
1. Coordonnées de AB⃗ :
AB⃗ = (5-1 ; -1-3) = (4 ; -4)
2. Milieu M de [AB] :
M = ((1+5)/2 ; (3+(-1))/2) = (3 ; 1)
3. Distance AB :
AB = √(4² + (-4)²) = √(16+16) = √32 = 4√2
4. AB⃗ et AC⃗ sont-ils colinéaires ?
AC⃗ = (-2-1 ; 2-3) = (-3 ; -1)
Déterminant : 4×(-1) - (-4)×(-3) = -4 - 12 = -16 ≠ 0
Non colinéaires → A, B, C non alignés.
A(2 ; -1) et B(6 ; 3). Calculer les coordonnées du milieu M de [AB].
Correction
M = ((2+6)/2 ; (-1+3)/2) = (4 ; 1).
A(-1 ; 2) et B(3 ; -4). Calculer la longueur AB.
Correction
AB = √((3-(-1))² + (-4-2)²) = √(16 + 36) = √52 = 2√13.
u⃗ = (3 ; 6) et v⃗ = (1 ; 2). Sont-ils colinéaires ?
Correction
Déterminant = 3×2 - 6×1 = 6 - 6 = 0. Oui, colinéaires. En effet v⃗ = (1/3)u⃗.
ABCD est-il un parallélogramme ? A(0;0), B(3;1), C(5;4), D(2;3).
Correction
AB⃗ = (3;1). DC⃗ = (5-2; 4-3) = (3;1). AB⃗ = DC⃗, donc ABCD est un parallélogramme.
Trouver le point C tel que M(2;1) soit le milieu de [AC] avec A(0;-1).
Correction
2 = (0+xC)/2 → xC = 4 ; 1 = (-1+yC)/2 → yC = 3. Donc C(4;3).