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Une fonction est une règle qui associe à chaque élément d'un ensemble de départ UN SEUL élément d'un ensemble d'arrivée.
🔹 Vocabulaire :
• Domaine de définition Df : ensemble des x pour lesquels f(x) existe
• Image de x : f(x)
• Antécédent de y : x tel que f(x) = y
• Courbe représentative : ensemble des points (x ; f(x))
🔹 Restrictions au domaine de définition :
• Fraction : dénominateur ≠ 0 → f(x) = 1/(x-2), Df = ℝ\ {2}
• Racine carrée : expression sous la racine ≥ 0 → f(x) = √(x-1), Df = [1 ; +∞[
🔹 Tableau de valeurs et courbe :
Pour tracer la courbe, calculer f(x) pour plusieurs valeurs de x et placer les points (x ; f(x)).
🔹 Sens de variation :
• Croissante sur I : si a < b alors f(a) < f(b)
• Décroissante sur I : si a < b alors f(a) > f(b)
🔹 Maximum et minimum :
• Maximum : valeur la plus grande atteinte par f
• Minimum : valeur la plus petite atteinte par f
📝 f(x) = x² - 2x + 1
1. Df = ℝ (polynôme, défini partout)
2. Calculer f(0), f(2), f(-1) :
f(0) = 0 - 0 + 1 = 1
f(2) = 4 - 4 + 1 = 1
f(-1) = 1 + 2 + 1 = 4
3. Antécédent de 0 :
x² - 2x + 1 = 0 → (x-1)² = 0 → x = 1
📝 g(x) = √(2x - 6)
2x - 6 ≥ 0 → x ≥ 3
Dg = [3 ; +∞[
📝 h(x) = 1/(x² - 4)
x² - 4 ≠ 0 → x ≠ 2 et x ≠ -2
Dh = ℝ \ {-2 ; 2}
Déterminer le domaine de définition de f(x) = √(3x - 9).
Correction
3x - 9 ≥ 0 → x ≥ 3. Df = [3 ; +∞[.
f(x) = 2x² - 3. Calculer f(-2) et trouver les antécédents de 5.
Correction
f(-2) = 2×4 - 3 = 5. Antécédents de 5 : 2x² - 3 = 5 → x² = 4 → x = 2 ou x = -2.
Donner le domaine de définition de g(x) = (x+1)/(x² - x).
Correction
x² - x ≠ 0 → x(x-1) ≠ 0 → x ≠ 0 et x ≠ 1. Dg = ℝ \ {0 ; 1}.
f est croissante sur [0 ; 4]. f(0) = -1 et f(4) = 7. Sans calcul, que peut-on dire de f(2) ?
Correction
Comme f est croissante et 0 < 2 < 4, on a f(0) < f(2) < f(4), donc -1 < f(2) < 7.
Peut-on avoir deux images différentes pour un même antécédent dans une fonction ?
Correction
Non. Par définition d'une fonction, à chaque x du domaine correspond UNE SEULE image f(x).