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Les fonctions de référence sont des fonctions fondamentales à connaître parfaitement.
🔹 1. Fonction affine : f(x) = mx + p
• Courbe : droite de pente m et d'ordonnée à l'origine p
• Croissante si m > 0, décroissante si m < 0, constante si m = 0
• Cas particulier : m = 0 → fonction constante ; p = 0 → fonction linéaire
🔹 2. Fonction carré : f(x) = x²
• Df = ℝ, valeurs ≥ 0
• Courbe : parabole symétrique par rapport à l'axe des y
• Minimum en x = 0 : f(0) = 0
• Décroissante sur ]-∞ ; 0], croissante sur [0 ; +∞[
🔹 3. Fonction inverse : f(x) = 1/x
• Df = ℝ\ {0}
• Courbe : hyperbole (deux branches)
• Décroissante sur ]-∞ ; 0[ et sur ]0 ; +∞[
• f(-x) = -f(x) : fonction impaire (symétrie par rapport à l'origine)
🔹 4. Fonction racine carrée : f(x) = √x
• Df = [0 ; +∞[
• Courbe : demi-parabole
• Croissante sur [0 ; +∞[
📝 Compléter le tableau de valeurs de f(x) = x² :
x : -3 -2 -1 0 1 2 3
f(x): 9 4 1 0 1 4 9
→ Courbe en forme de U (parabole)
📝 Tableau de valeurs de g(x) = 1/x :
x : -4 -2 -1 1 2 4
g(x): -0.25 -0.5 -1 1 0.5 0.25
→ Deux branches de l'hyperbole
📝 Comparer f(x) = x² et g(x) = x pour x ∈ [0 ; 1] :
Si 0 ≤ x ≤ 1, alors x² ≤ x (car x × x ≤ 1 × x)
Pour x > 1 : x² > x
La fonction f(x) = x² est-elle croissante sur ℝ ? Justifier.
Correction
Non. Elle est décroissante sur ]-∞ ; 0] et croissante sur [0 ; +∞[. Exemple : (-2)² = 4 > (-1)² = 1, donc f(-2) > f(-1) alors que -2 < -1 → décroissante.
Donner le domaine de définition et les variations de f(x) = √(x+4).
Correction
x+4 ≥ 0 → x ≥ -4. Df = [-4 ; +∞[. √ est croissante, donc f est croissante sur [-4 ; +∞[.
Quel est le minimum de f(x) = (x-3)² ?
Correction
(x-3)² ≥ 0 et est nul en x = 3. Minimum = 0, atteint en x = 3.
Comparer f(a) et f(b) avec f(x) = 1/x, a = 2, b = 5.
Correction
f(2) = 1/2 = 0,5 et f(5) = 1/5 = 0,2. Comme 2 < 5 et f(2) > f(5), la fonction est bien décroissante sur ]0 ; +∞[.
f(x) = 3x - 6. Pour quelle valeur de x a-t-on f(x) = 0 ?
Correction
3x - 6 = 0 → x = 2. C'est l'abscisse du point d'intersection de la droite avec l'axe des x.