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Le tableau de variations résume le comportement d'une fonction (variations et valeurs remarquables).
🔹 Structure du tableau de variations :
| x | a ... b ... c |
| f(x) | ↗ f(b) ↘ f(c) ↗ |
• ↗ : f croissante
• ↘ : f décroissante
• Maximum local : f(b) si f croît puis décroît en b
• Minimum local : f(c) si f décroît puis croît en c
🔹 Méthode pour étudier les variations :
1. Déterminer le domaine de définition
2. Étudier le signe de la dérivée (en Terminale) ou analyser la fonction
3. Calculer les valeurs aux bornes et aux extrema
4. Dresser le tableau
🔹 Fonctions à savoir :
• f(x) = x² : minimum en 0, valeur 0
• f(x) = -x² : maximum en 0, valeur 0
• f(x) = ax² + bx + c : extremum en x = -b/(2a)
• f(x) = 1/x : strictement décroissante sur chaque demi-axe
🔹 Lecture graphique :
Sur la courbe, identifier les 'sommets' (extrema) et les intervalles de croissance/décroissance.
📝 Dresser le tableau de variations de f(x) = x² - 4x + 3
f(x) = (x-2)² - 1 (forme canonique)
Minimum en x = 2 : f(2) = -1
| x | -∞ 2 +∞ |
| f(x) | +∞ ↘ -1 ↗ +∞ |
📝 Dresser le tableau de variations de f(x) = -x² + 6x - 5
f(x) = -(x-3)² + 4 (forme canonique)
Maximum en x = 3 : f(3) = 4
| x | -∞ 3 +∞ |
| f(x) | -∞ ↗ 4 ↘ -∞ |
📝 Résoudre graphiquement f(x) > 0 pour f(x) = x² - 4x + 3 :
Racines : x² - 4x + 3 = 0 → (x-1)(x-3) = 0 → x = 1 ou x = 3
f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞ ; 1[ ∪ ]3 ; +∞[
f(x) = x² - 6x + 8. Trouver le minimum et le tableau de variations.
Correction
f(x) = (x-3)² - 1. Minimum en x = 3 : f(3) = -1. Décroissante sur ]-∞ ; 3], croissante sur [3 ; +∞[.
f(x) = -2x² + 8x - 3. Quel est le maximum de f ?
Correction
x_max = -b/(2a) = -8/(2×(-2)) = 2. f(2) = -8 + 16 - 3 = 5. Maximum = 5 en x = 2.
Sur le tableau de variations, f est croissante sur [-1 ; 2] et f(-1) = 4, f(2) = 10. Encadrer f(0).
Correction
-1 < 0 < 2 et f croissante → f(-1) < f(0) < f(2) → 4 < f(0) < 10.
Peut-on avoir deux maximums locaux de valeurs différentes ?
Correction
Oui. Une fonction peut avoir plusieurs maximums locaux de valeurs différentes. Le maximum global est le plus grand de tous les maximums locaux.
f(x) = x² + 2x - 3. Résoudre f(x) ≤ 0.
Correction
Racines : x = 1 et x = -3. Parabole tournée vers le haut → f(x) ≤ 0 entre les racines. Solution : [-3 ; 1].