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On utilise la trigonométrie pour calculer des côtés et angles dans des triangles.
🔹 Dans le triangle rectangle (rappel 3e) :
• sin(A) = côté opposé / hypoténuse
• cos(A) = côté adjacent / hypoténuse
• tan(A) = côté opposé / côté adjacent
🔹 Théorème de Pythagore : a² + b² = c² (c hypoténuse)
🔹 Dans tout triangle (théorème des sinus) :
a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C) = 2R
(où R est le rayon du cercle circonscrit)
🔹 Formule d'Al-Kashi (généralisation de Pythagore) :
a² = b² + c² - 2bc × cos(A)
🔹 Angles d'un triangle :
A + B + C = 180° = π radians
🔹 Aire d'un triangle :
Aire = (1/2) × b × c × sin(A)
📝 Triangle ABC, angle A = 60°, b = 4, c = 5
1. Calcul de a par Al-Kashi :
a² = 4² + 5² - 2×4×5×cos(60°)
a² = 16 + 25 - 40×(1/2) = 41 - 20 = 21
a = √21 ≈ 4,58
2. Aire du triangle :
Aire = (1/2)×4×5×sin(60°) = 10×(√3/2) = 5√3 ≈ 8,66
📝 Triangle ABC, a = 6, A = 45°, B = 75°
C = 180° - 45° - 75° = 60°
b/sin(B) = a/sin(A) → b = 6×sin(75°)/sin(45°) ≈ 6×0,966/0,707 ≈ 8,2
Dans un triangle rectangle en C, AB = 10, angle A = 30°. Calculer BC et AC.
Correction
BC = AB × sin(30°) = 10 × 1/2 = 5. AC = AB × cos(30°) = 10 × √3/2 = 5√3.
Énoncer la formule d'Al-Kashi et indiquer dans quel cas on l'utilise.
Correction
a² = b² + c² − 2bc cos(A). On l'utilise quand on connaît deux côtés et l'angle compris (pour trouver le troisième côté) ou quand on connaît les trois côtés (pour trouver un angle).
Triangle ABC, A = 90°, B = 35°, c = 8. Calculer b.
Correction
C = 180° - 90° - 35° = 55°. Par le théorème des sinus : b/sin(B) = c/sin(C). b = 8×sin(35°)/sin(55°) ≈ 8×0,574/0,819 ≈ 5,6.
Calculer l'aire du triangle ABC avec a = 7, b = 5, C = 60°.
Correction
Aire = (1/2)×a×b×sin(C) = (1/2)×7×5×sin(60°) = (35/2)×(√3/2) = 35√3/4 ≈ 15,1.
Dans un triangle, deux angles sont 40° et 70°. Quel est le troisième ?
Correction
180° - 40° - 70° = 70°. Le triangle est isocèle.