Retour au programme
En 2nde, les statistiques s'approfondissent avec de nouvelles mesures de dispersion.
🔹 Rappels : moyenne, médiane, étendue
• Moyenne : x̄ = (Σ xi) / n
• Médiane : valeur centrale (partage la série en deux moitiés égales)
• Étendue : valeur max - valeur min
🔹 Quartiles :
• Q1 : premier quartile (25% des valeurs sont en dessous)
• Q2 : médiane (50%)
• Q3 : troisième quartile (75% des valeurs sont en dessous)
• Écart interquartile : Q3 - Q1
🔹 Variance et écart-type :
• Variance : V = (1/n) × Σ(xi - x̄)²
ou V = (Σxi²)/n - x̄²
• Écart-type : σ = √V
• Un écart-type élevé = les valeurs sont très dispersées
• Un écart-type faible = les valeurs sont regroupées autour de la moyenne
🔹 Diagramme en boîte (box plot) :
Représentation graphique utilisant Min, Q1, médiane, Q3, Max.
🔹 Fréquences cumulées :
Somme progressive des fréquences pour lire Q1, Q2, Q3 graphiquement.
📝 Série : 4, 7, 8, 10, 12, 14, 15, 20 (n = 8)
1. Médiane Q2 :
Milieu entre 4e et 5e valeur : (10+12)/2 = 11
2. Q1 (médiane de la moitié inférieure : 4, 7, 8, 10) :
Q1 = (7+8)/2 = 7,5
3. Q3 (médiane de la moitié supérieure : 12, 14, 15, 20) :
Q3 = (14+15)/2 = 14,5
4. Écart interquartile : Q3 - Q1 = 14,5 - 7,5 = 7
5. Moyenne : x̄ = (4+7+8+10+12+14+15+20)/8 = 90/8 = 11,25
6. Variance : V = [(4²+7²+8²+10²+12²+14²+15²+20²)/8] - 11,25²
= [16+49+64+100+144+196+225+400]/8 - 126,56
= 1194/8 - 126,56 = 149,25 - 126,56 = 22,69
σ = √22,69 ≈ 4,76
Quelle est la différence entre l'écart-type et la variance ?
Correction
La variance est la moyenne des carrés des écarts à la moyenne : V = (1/n)Σ(xi − x̄)². L'écart-type σ = √V est la racine carrée de la variance — il s'exprime dans la même unité que les données, ce qui le rend plus interprétable.
Série : 5, 8, 8, 10, 14. Calculer la moyenne et l'écart-type.
Correction
x̄ = (5+8+8+10+14)/5 = 45/5 = 9. V = [(25+64+64+100+196)/5] − 81 = 449/5 − 81 = 89,8 − 81 = 8,8. σ = √8,8 ≈ 2,97.
Pourquoi l'écart interquartile est-il parfois préféré à l'écart-type ?
Correction
L'écart interquartile (Q3 - Q1) est robuste aux valeurs extrêmes (outliers). L'écart-type, lui, est très sensible aux valeurs aberrantes qui augmentent fortement la variance.
Donner le diagramme en boîte (valeurs nécessaires) pour la série : 3, 6, 7, 9, 11, 13, 18.
Correction
Min = 3. Q1 = 6. Médiane = 9. Q3 = 13. Max = 18. Le diagramme en boîte va de 3 à 18, la boîte de 6 à 13 avec le trait médian à 9.
Deux classes ont la même moyenne de 12/20. Classe A : σ = 1 ; Classe B : σ = 4. Que conclure ?
Correction
La classe A est plus homogène (les notes sont regroupées autour de 12). La classe B est plus hétérogène (grandes disparités entre les élèves).