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En 2nde, on approfondit les probabilités avec les probabilités conditionnelles et les arbres.
🔹 Rappels :
• Probabilité d'un événement A : P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles (équiprobabilité)
• 0 ≤ P(A) ≤ 1
• P(Ā) = 1 - P(A) (événement complémentaire)
🔹 Probabilité de A ∪ B :
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) - P(A ∩ B)
Si A et B incompatibles (disjoints) : P(A ∪ B) = P(A) + P(B)
🔹 Probabilité conditionnelle :
P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A) avec P(A) > 0
Probabilité de B sachant que A est réalisé.
🔹 Indépendance :
A et B indépendants ⟺ P(A ∩ B) = P(A) × P(B)
🔹 Arbre de probabilités :
• Chaque branche porte sa probabilité
• La somme des branches issues d'un nœud = 1
• Probabilité d'un chemin = produit des probabilités des branches
• Probabilité d'un événement = somme des chemins favorables
📝 Dans une classe de 30 élèves : 18 filles et 12 garçons.
10 filles et 6 garçons ont eu une bonne note.
1. P(bonne note) = 16/30 = 8/15
2. P(bonne note | fille) = 10/18 = 5/9
3. P(fille et bonne note) = 10/30 = 1/3
📝 Arbre : sac avec 3 rouges (R) et 2 bleues (B). Tirage avec remise de 2 boules.
R(3/5) → R(3/5) : RR probabilité = 9/25
1er ↗ → B(2/5) : RB probabilité = 6/25
↘ B(2/5) → R(3/5) : BR probabilité = 6/25
→ B(2/5) : BB probabilité = 4/25
Total = 25/25 ✓
P(une boule de chaque couleur) = P(RB) + P(BR) = 6/25 + 6/25 = 12/25
Définir la probabilité conditionnelle P(B|A) et donner sa formule.
Correction
P(B|A) est la probabilité que B se réalise sachant que A est déjà réalisé. Formule : P(B|A) = P(A∩B) / P(A), avec P(A) > 0.
P(A) = 0,4, P(B) = 0,3, P(A∩B) = 0,1. Calculer P(A∪B) et P(B|A).
Correction
P(A∪B) = 0,4 + 0,3 - 0,1 = 0,6. P(B|A) = 0,1/0,4 = 0,25.
A et B sont indépendants avec P(A) = 1/3 et P(B) = 1/4. Calculer P(A∩B).
Correction
P(A∩B) = P(A) × P(B) = (1/3)×(1/4) = 1/12.
Une urne contient 4 boules rouges et 6 noires. On tire 2 boules SANS remise. P(2 rouges) = ?
Correction
P(1ère rouge) = 4/10. P(2e rouge | 1ère rouge) = 3/9. P(2 rouges) = (4/10)×(3/9) = 12/90 = 2/15.
Un test médical détecte 95% des malades (vrais positifs) et donne un résultat positif pour 2% des personnes saines (faux positifs). Dans une population, 1% est malade. P(malade | test positif) = ?
Correction
P(M)=0,01 ; P(+|M)=0,95 ; P(+|sain)=0,02. P(+) = 0,01×0,95 + 0,99×0,02 = 0,0095+0,0198 = 0,0293. P(M|+) = 0,0095/0,0293 ≈ 0,324 = 32,4%.