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Les suites numériques sont des listes de nombres organisés selon une loi. Deux types essentiels en 2nde.
🔹 Définition :
Une suite (uₙ) est une fonction de ℕ dans ℝ. uₙ est le terme de rang n.
🔹 Suite arithmétique :
Chaque terme est obtenu en ajoutant une constante r (raison) au terme précédent.
• uₙ₊₁ = uₙ + r
• Terme général : uₙ = u₀ + n × r
• Somme des n+1 premiers termes : Sₙ = (n+1) × (u₀ + uₙ) / 2
Exemple : 2, 5, 8, 11, ... (r = 3, u₀ = 2)
🔹 Suite géométrique :
Chaque terme est obtenu en multipliant par une constante q (raison) le terme précédent.
• uₙ₊₁ = q × uₙ
• Terme général : uₙ = u₀ × qⁿ
• Somme des n+1 premiers termes (q ≠ 1) : Sₙ = u₀ × (1 - qⁿ⁺¹) / (1 - q)
Exemple : 3, 6, 12, 24, ... (q = 2, u₀ = 3)
🔹 Reconnaître le type :
• Différences constantes → arithmétique
• Quotients constants → géométrique
📝 Suite arithmétique : u₀ = 4, r = 3
u₁ = 7, u₂ = 10, u₃ = 13
u₁₀ = 4 + 10×3 = 34
Somme S₁₀ = 11 × (4+34)/2 = 11 × 19 = 209
📝 Suite géométrique : u₀ = 5, q = 2
u₁ = 10, u₂ = 20, u₃ = 40
u₆ = 5 × 2⁶ = 5 × 64 = 320
📝 Identifier le type :
Série : 100, 50, 25, 12,5
Quotients : 50/100 = 25/50 = 0,5 → géométrique de raison 1/2
📝 Application financière :
Un capital de 100 000 F CFA placé à 5% par an (intérêts composés) :
Cₙ = 100 000 × (1,05)ⁿ → suite géométrique de raison 1,05
La suite u est arithmétique avec u₂ = 11 et u₅ = 20. Trouver la raison et u₀.
Correction
u₅ - u₂ = 3r → 20 - 11 = 9 = 3r → r = 3. u₀ = u₂ - 2r = 11 - 6 = 5.
Suite géométrique : u₀ = 1, q = 3. Calculer u₄ et la somme u₀ + u₁ + u₂ + u₃ + u₄.
Correction
u₄ = 1 × 3⁴ = 81. S₄ = 1×(1-3⁵)/(1-3) = (1-243)/(-2) = (-242)/(-2) = 121.
Un employé gagne 150 000 F CFA/mois avec une augmentation de 5 000 F CFA par an. Quel sera son salaire mensuel après 4 ans ?
Correction
Suite arithmétique de raison 5 000. Après 4 ans : 150 000 + 4 × 5 000 = 170 000 F CFA.
La suite définie par uₙ = 3n + 2 est-elle arithmétique ? Quelle est sa raison ?
Correction
uₙ₊₁ - uₙ = [3(n+1)+2] - [3n+2] = 3. Différence constante = 3. Oui, arithmétique de raison 3.
Quelle est la différence entre intérêts simples et intérêts composés en termes de suites ?
Correction
Intérêts simples → suite arithmétique (on ajoute chaque année la même somme). Intérêts composés → suite géométrique (on multiplie chaque année par (1+taux)).