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Le trinôme du second degré est la pièce maîtresse de l'algèbre en 1ère.
🔹 Forme générale : ax² + bx + c (a ≠ 0)
🔹 Discriminant : Δ = b² - 4ac
• Δ > 0 : deux racines réelles distinctes : x₁ = (-b-√Δ)/(2a), x₂ = (-b+√Δ)/(2a)
• Δ = 0 : une racine double : x₀ = -b/(2a)
• Δ < 0 : pas de racine réelle
🔹 Factorisation :
• Δ > 0 : ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
• Δ = 0 : ax² + bx + c = a(x - x₀)²
🔹 Relations coefficients-racines (Viète) :
• x₁ + x₂ = -b/a
• x₁ × x₂ = c/a
🔹 Forme canonique :
ax² + bx + c = a(x + b/2a)² - Δ/(4a)
• Sommet de la parabole : S(-b/2a ; -Δ/4a)
🔹 Applications :
• Résoudre ax² + bx + c = 0
• Étudier le signe du trinôme
• Résoudre une équation du second degré en passant par un trinôme
📝 Résoudre 2x² - 5x + 2 = 0 :
Δ = 25 - 4×2×2 = 25 - 16 = 9 > 0
x₁ = (5-3)/4 = 1/2 ; x₂ = (5+3)/4 = 2
Factorisation : 2(x - 1/2)(x - 2) = (2x-1)(x-2)
Vérification Viète : x₁+x₂ = 5/2 = -b/a ✓ ; x₁×x₂ = 1 = c/a ✓
📝 Forme canonique de f(x) = x² - 4x + 1 :
f(x) = (x-2)² - 4 + 1 = (x-2)² - 3
Sommet S(2 ; -3), minimum = -3
📝 Résoudre x² - 6x + 9 = 0 :
Δ = 36 - 36 = 0 → racine double x₀ = 3
f(x) = (x-3)²
Résoudre 3x² + 7x - 6 = 0.
Correction
Δ = 49 + 72 = 121. x₁ = (-7-11)/6 = -3 ; x₂ = (-7+11)/6 = 2/3.
Quand un trinôme ax² + bx + c a-t-il des racines réelles ?
Correction
Quand Δ = b² - 4ac ≥ 0. Si Δ > 0 : deux racines distinctes. Si Δ = 0 : une racine double.
Les racines d'un trinôme sont 3 et -5. Le coefficient de x² est 2. Écrire le trinôme.
Correction
f(x) = 2(x-3)(x+5) = 2x² + 4x - 30.
Résoudre x⁴ - 5x² + 4 = 0 (équation bicarrée).
Correction
Poser X = x². X² - 5X + 4 = 0 → (X-1)(X-4)=0 → X=1 ou X=4. x²=1 → x=±1 ; x²=4 → x=±2. Solutions : -2, -1, 1, 2.
Pour quelles valeurs de m l'équation x² - 2mx + m + 6 = 0 a-t-elle deux racines réelles distinctes ?
Correction
Δ > 0 → 4m² - 4(m+6) > 0 → m² - m - 6 > 0 → (m-3)(m+2) > 0 → m < -2 ou m > 3.