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La fonction du second degré f(x) = ax² + bx + c a pour courbe une parabole.
🔹 Sens d'ouverture :
• a > 0 : parabole ouverte vers le haut (∪), minimum
• a < 0 : parabole ouverte vers le bas (∩), maximum
🔹 Sommet de la parabole :
S(α ; β) avec α = -b/(2a) et β = f(α) = -Δ/(4a)
🔹 Tableau de variations :
Si a > 0 :
| x | -∞ α +∞ |
| f(x) | +∞ ↘ β ↗ +∞ |
Si a < 0 :
| x | -∞ α +∞ |
| f(x) | -∞ ↗ β ↘ -∞ |
🔹 Axe de symétrie : x = α = -b/(2a)
🔹 Intersection avec les axes :
• Axe des y : f(0) = c
• Axe des x : racines du trinôme (si Δ ≥ 0)
🔹 Lecture graphique :
• Maximum ou minimum lu sur l'axe des ordonnées (ordonnée du sommet)
• Résolution graphique de ax² + bx + c = k : intersection avec y = k
📝 Étude complète de f(x) = -x² + 4x - 3 :
1. a = -1 < 0 → parabole tournée vers le bas
2. Sommet : α = 4/2 = 2 ; β = -(4-4-(-3))... = f(2) = -4+8-3 = 1
S(2 ; 1) → maximum = 1
3. Δ = 16-12 = 4 → x₁ = 1, x₂ = 3
Intersections axe x : (1;0) et (3;0)
4. f(0) = -3 → intersection axe y : (0;-3)
5. Axe de symétrie : x = 2
6. Tableau :
| x | -∞ 2 +∞ |
| f(x) | -∞ ↗ 1 ↘ -∞ |
📝 Résolution graphique de -x²+4x-3 = -1 :
→ -x²+4x-2 = 0 → Δ = 16-8 = 8 → x = (4±2√2)/2 = 2±√2
f(x) = 2x² - 8x + 5. Trouver le sommet et le minimum.
Correction
α = 8/4 = 2. β = f(2) = 8-16+5 = -3. Sommet S(2;-3), minimum = -3.
Pour quelles valeurs de x a-t-on f(x) = 2x² - 6x + 4 ≤ 0 ?
Correction
Δ = 36-32 = 4. x₁=1, x₂=2. a>0 → négatif entre racines. Solution : [1;2].
La parabole passe par A(0;3), a pour sommet S(1;5). Trouver f(x).
Correction
f(x) = a(x-1)²+5. f(0)=a+5=3 → a=-2. f(x) = -2(x-1)²+5 = -2x²+4x+3.
Déterminer graphiquement le nombre de solutions de x²-2x-3 = 0.
Correction
Δ = 4+12 = 16 > 0 → deux solutions (la parabole coupe l'axe des x en deux points).
f(x) = ax²+bx+c avec a>0. Où est le minimum ?
Correction
Le minimum est à l'abscisse x = -b/(2a) (sommet de la parabole), et vaut β = f(-b/2a) = -Δ/(4a).