La dérivée permet d'étudier les variations d'une fonction et de trouver ses extrema. 🔹 Lien dérivée-variations : • f'(x) > 0 sur I → f croissante sur I • f'(x) < 0 sur I → f décroissante sur I • f'(x) = 0 et changement de signe → extremum local 🔹 Méthode d'étude d'une fonction : 1. Domaine de définition Df 2. Calculer f'(x) 3. Étudier le signe de f'(x) (tableau de signes) 4. En déduire le tableau de variations 5. Calculer les extrema (f aux points où f'=0) 6. Tracer la courbe (points clés + tangentes) 🔹 Extremum local : • f'(a) = 0 et f' change de + à - : maximum local en a • f'(a) = 0 et f' change de - à + : minimum local en a • f'(a) = 0 sans changement de signe : point d'inflexion 🔹 Optimisation (problèmes) : 1. Définir la variable et la fonction à optimiser 2. Déterminer le domaine 3. Dériver, annuler, étudier le signe 4. Conclure sur le maximum ou minimum

📝 Étude de f(x) = x³ - 3x + 2 sur ℝ : 1. Df = ℝ 2. f'(x) = 3x² - 3 = 3(x²-1) = 3(x-1)(x+1) 3. Signe de f'(x) : | x | -∞ -1 1 +∞ | | f'(x)| + 0 - 0 + | 4. Variations : | x | -∞ -1 1 +∞ | | f(x) | -∞ ↗ 4 ↘ 0 ↗ +∞ | f(-1) = -1+3+2 = 4 (maximum local) f(1) = 1-3+2 = 0 (minimum local) 📝 Problème d'optimisation : Un carré de côté x est découpé dans un rectangle 10×6. Aire restante : A(x) = 60 - x², x ∈ ]0;6[ A'(x) = -2x < 0 → décroissante → maximale en x le plus petit possible.