Retour au programme
En 1ère, on approfondit les suites avec la convergence et les suites définies par récurrence.
🔹 Rappels :
• Suite arithmétique : uₙ = u₀ + nr
• Suite géométrique : uₙ = u₀ × qⁿ
🔹 Limite d'une suite géométrique :
• |q| < 1 : qⁿ → 0 (convergente)
• q = 1 : qⁿ = 1 (constante)
• q > 1 : qⁿ → +∞ (divergente)
• q ≤ -1 : divergente (oscillations)
🔹 Suite récurrente uₙ₊₁ = f(uₙ) :
1. Calculer les premiers termes
2. Chercher un point fixe : L = f(L)
3. Étudier la monotonie (signe de uₙ₊₁ - uₙ)
4. Étudier si la suite est bornée
5. Conclure sur la convergence
🔹 Théorème de convergence des suites monotones :
• Suite croissante majorée → converge
• Suite décroissante minorée → converge
🔹 Raisonnement par récurrence :
1. Initialisation : vérifier pour n=0 (ou n=1)
2. Hérédité : supposer vrai au rang n, montrer au rang n+1
3. Conclusion
📝 uₙ₊₁ = (uₙ + 3)/2, u₀ = 5
Calcul des premiers termes :
u₀=5, u₁=4, u₂=3.5, u₃=3.25 → décroissante, semble converger vers 3
Point fixe : L = (L+3)/2 → 2L = L+3 → L = 3
Montrons par récurrence que uₙ ≥ 3 :
- u₀ = 5 ≥ 3 ✓
- Si uₙ ≥ 3, alors uₙ₊₁ = (uₙ+3)/2 ≥ (3+3)/2 = 3 ✓
Suite décroissante et minorée par 3 → converge vers 3.
📝 Récurrence : montrer que 1+2+...+n = n(n+1)/2
Initialisation : n=1 → 1 = 1(2)/2 = 1 ✓
Hérédité : 1+...+n+(n+1) = n(n+1)/2+(n+1) = (n+1)(n+2)/2 ✓
La suite définie par u₀=2 et uₙ₊₁=3uₙ-4 converge-t-elle ?
Correction
Point fixe : L=3L-4 → L=2. u₁=2, u₂=2,... Suite constante égale à 2. Elle converge vers 2.
Donner la limite de uₙ = (0,5)ⁿ × n.
Correction
(0,5)ⁿ → 0 beaucoup plus vite que n → +∞. Par croissances comparées, uₙ → 0.
Montrer par récurrence que pour tout n ∈ ℕ : 3ⁿ ≥ 2n+1.
Correction
n=0 : 1 ≥ 1 ✓. Si 3ⁿ ≥ 2n+1, alors 3ⁿ⁺¹ = 3×3ⁿ ≥ 3(2n+1) = 6n+3 ≥ 2(n+1)+1 = 2n+3 (car 6n+3 ≥ 2n+3 ↔ 4n ≥ 0 ✓). Donc vrai pour tout n.
uₙ₊₁ = uₙ/2 + 1, u₀ = 6. La suite est-elle monotone ?
Correction
uₙ₊₁ - uₙ = uₙ/2+1-uₙ = 1-uₙ/2. Si uₙ > 2 → uₙ₊₁-uₙ < 0 → décroissante. Minorée par 2 (point fixe). Converge vers 2.
Quelle est la condition pour qu'une suite géométrique de raison q converge ?
Correction
La suite géométrique uₙ = u₀×qⁿ converge si et seulement si |q| < 1 (→ 0) ou q = 1 (→ u₀). Pour q = 0 : converge vers 0. Pour |q| > 1 ou q ≤ -1 : diverge.