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Le produit scalaire est une opération entre deux vecteurs qui donne un nombre réel.
🔹 Définitions :
• Géométrique : u⃗·v⃗ = |u⃗| × |v⃗| × cos(θ) (θ = angle entre u⃗ et v⃗)
• Analytique : u⃗(a;b) · v⃗(c;d) = ac + bd
• Par développement : u⃗·v⃗ = (1/2)(|u⃗+v⃗|² - |u⃗|² - |v⃗|²)
🔹 Propriétés :
• Commutativité : u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗
• Bilinéarité : (u⃗+v⃗)·w⃗ = u⃗·w⃗ + v⃗·w⃗
• u⃗·u⃗ = |u⃗|² ≥ 0
🔹 Cas particuliers :
• u⃗ ⊥ v⃗ ⟺ u⃗·v⃗ = 0
• u⃗ et v⃗ colinéaires de même sens : θ=0, cos(0)=1 → u⃗·v⃗ = |u⃗||v⃗|
• u⃗ et v⃗ colinéaires de sens opposé : θ=π → u⃗·v⃗ = -|u⃗||v⃗|
🔹 Applications :
• Calculer un angle dans un triangle : cos(A) = AB⃗·AC⃗/(AB×AC)
• Reconnaître la perpendicularité
• Équation d'un cercle : M ∈ cercle de diamètre [AB] ⟺ MA⃗·MB⃗ = 0
• Projection orthogonale
📝 u⃗ = (3;4), v⃗ = (-1;2)
u⃗·v⃗ = 3×(-1) + 4×2 = -3+8 = 5
|u⃗| = √(9+16) = 5 ; |v⃗| = √(1+4) = √5
cos(θ) = 5/(5√5) = 1/√5 = √5/5
📝 Triangle ABC, A(1;0), B(4;0), C(1;3)
AB⃗ = (3;0), AC⃗ = (0;3)
AB⃗·AC⃗ = 0 → angle en A = 90° (triangle rectangle en A)
📝 Cercle de diamètre AB, A(0;0), B(4;0)
M(x;y) ∈ cercle ⟺ MA⃗·MB⃗ = 0
MA⃗ = (-x;-y), MB⃗ = (4-x;-y)
→ -x(4-x)+y² = 0 → x²-4x+y² = 0
→ (x-2)²+y² = 4 (cercle de centre (2;0) et rayon 2)
u⃗ = (2;-1) et v⃗ = (3;6). Ces vecteurs sont-ils perpendiculaires ?
Correction
u⃗·v⃗ = 6+(-6) = 0. Oui, perpendiculaires.
Triangle ABC, AB=5, AC=4, angle A=60°. Calculer AB⃗·AC⃗.
Correction
AB⃗·AC⃗ = AB×AC×cos(A) = 5×4×cos60° = 20×(1/2) = 10.
Calculer l'angle entre u⃗=(1;√3) et v⃗=(√3;1).
Correction
u⃗·v⃗ = √3+√3 = 2√3. |u⃗|=|v⃗|=2. cos(θ)=2√3/4 = √3/2 → θ = π/6 = 30°.
ABC est un triangle. Montrer que AB⃗·BC⃗ + AB⃗·CA⃗ = -AB².
Correction
AB⃗·BC⃗ + AB⃗·CA⃗ = AB⃗·(BC⃗+CA⃗) = AB⃗·BA⃗ = -AB⃗·AB⃗ = -|AB⃗|² = -AB².
Déterminer l'équation du cercle de diamètre [AB] avec A(1;3) et B(5;1).
Correction
M(x;y) ∈ cercle ⟺ MA⃗·MB⃗=0. MA⃗=(1-x;3-y), MB⃗=(5-x;1-y). (1-x)(5-x)+(3-y)(1-y)=0 → x²-6x+5+y²-4y+3=0 → (x-3)²+(y-2)²=5. Rayon √5, centre (3;2).