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La géométrie dans l'espace étend les notions du plan à trois dimensions.
🔹 Positions relatives de droites dans l'espace :
• Sécantes : se croisent en un point
• Parallèles : même direction, ne se croisent pas
• Coplanaires : contenues dans le même plan
• Non coplanaires (gauches) : ni parallèles ni sécantes
🔹 Positions relatives d'un plan et d'une droite :
• Droite ⊂ plan
• Droite ∥ plan (pas de point commun)
• Droite sécante au plan (un seul point commun)
🔹 Positions relatives de deux plans :
• Plans parallèles (pas de point commun)
• Plans sécants (intersection = droite)
🔹 Théorème du toit :
Si deux droites sécantes d'un plan P sont parallèles à un plan Q,
alors P ∥ Q.
🔹 Orthogonalité :
• Droite perpendiculaire à un plan ⟺ perpendiculaire à toute droite du plan
• Critère : une droite ⊥ à deux droites sécantes d'un plan ⟺ ⊥ au plan
🔹 Sections planes :
Intersection d'un solide avec un plan → section plane
Pour trouver la section : identifier les points d'intersection du plan avec les arêtes.
📝 Cube ABCDEFGH (ABCD base, EFGH sommet)
1. Droites parallèles à AB : CD, GH, EF
2. Droites perpendiculaires à ABCD : AE, BF, CG, DH
3. AH et BG sont-elles coplanaires ?
AH⃗ = (1;0;1) en repère adapté, BG⃗ = (-1;1;1) — pas parallèles
Chercher si elles se croisent : non → droites gauches
📝 Section du cube par un plan passant par A, C et le milieu M de EF :
Points : A(0;0;0), C(1;1;0), M(1/2;1;1)
Section = triangle ACM
Dans un cube, les droites AG et BH sont-elles sécantes, parallèles ou gauches ?
Correction
AG et BH sont des diagonales opposées du cube. Elles ne sont pas parallèles (directions différentes) et ne se croisent pas (pas de point commun). Ce sont des droites gauches (non coplanaires).
Énoncer le critère pour qu'une droite soit perpendiculaire à un plan.
Correction
Une droite d est perpendiculaire à un plan P si et seulement si elle est perpendiculaire à deux droites sécantes de ce plan. Si d ⊥ Δ₁ et d ⊥ Δ₂ avec Δ₁ ∩ Δ₂ ≠ ∅ dans P, alors d ⊥ P.
Comment trouver la section d'un tétraèdre par un plan ?
Correction
On identifie les intersections du plan avec les arêtes du tétraèdre. Chaque intersection est un point de la section. En reliant ces points, on obtient le polygone de section.
Dans un prisme droit à base triangulaire ABC, les plans ABC et A'B'C' sont-ils parallèles ?
Correction
Oui. Deux plans sont parallèles si deux droites sécantes de l'un sont parallèles à deux droites sécantes de l'autre. AA'∥BB', AB∥A'B' et ces droites sont sécantes dans chaque plan → les plans sont parallèles.
Quelle est la différence entre deux droites parallèles et deux droites gauches ?
Correction
Deux droites parallèles ont la même direction et ne se croisent pas — elles sont coplanaires (dans un même plan). Deux droites gauches n'ont pas la même direction et ne se croisent pas — elles ne sont pas coplanaires.