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La fonction exponentielle est fondamentale en analyse — elle modélise la croissance et la décroissance.
🔹 Définition :
f(x) = eˣ est l'unique fonction telle que f'(x) = f(x) et f(0) = 1.
e ≈ 2,718 (nombre d'Euler)
🔹 Propriétés algébriques :
• eᵃ × eᵇ = eᵃ⁺ᵇ
• eᵃ / eᵇ = eᵃ⁻ᵇ
• (eᵃ)ⁿ = eⁿᵃ
• e⁰ = 1 ; e¹ = e
• eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ
🔹 Dérivée :
• (eˣ)' = eˣ
• (eᵘ)' = u' × eᵘ (règle de composition)
• Ex : (e²ˣ⁺¹)' = 2e²ˣ⁺¹
🔹 Variations et limites :
• eˣ est strictement croissante sur ℝ
• lim(x→-∞) eˣ = 0 (asymptote y=0)
• lim(x→+∞) eˣ = +∞
🔹 Croissances comparées :
• xⁿeˣ → 0 quand x → -∞ (l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme)
• eˣ/xⁿ → +∞ quand x → +∞
📝 Simplifier :
1. e³ × e⁻¹ = e²
2. (e²)³ = e⁶
3. e²ˣ/eˣ = eˣ
📝 Dériver :
1. f(x) = e³ˣ → f'(x) = 3e³ˣ
2. g(x) = x²eˣ → g'(x) = 2xeˣ + x²eˣ = xeˣ(2+x)
3. h(x) = e^(x²-1) → h'(x) = 2x·e^(x²-1)
📝 Résoudre eˣ = e³ˣ⁻² :
x = 3x-2 → -2x = -2 → x = 1
📝 Résoudre e²ˣ - 3eˣ + 2 = 0 :
Poser X = eˣ (X > 0) : X²-3X+2=0 → (X-1)(X-2)=0
X=1 → eˣ=1 → x=0 ; X=2 → eˣ=2 → x=ln2
Montrer que eˣ > 0 pour tout x.
Correction
eˣ = e^x. Pour x≥0 : eˣ ≥ e⁰ = 1 > 0 (car exponentielle croissante). Pour x<0 : eˣ = 1/e^(-x) > 0 car e^(-x) > 0. Donc eˣ > 0 pour tout x ∈ ℝ.
Résoudre eˣ > 5.
Correction
La fonction exponentielle est croissante. eˣ > e^(ln5) ↔ x > ln5. Solution : ]ln5 ; +∞[.
Étudier les variations de f(x) = (x-1)eˣ.
Correction
f'(x) = eˣ + (x-1)eˣ = eˣ(1+x-1) = xeˣ. Comme eˣ>0 toujours : signe de f'(x) = signe de x. f décroissante sur ]-∞;0], croissante sur [0;+∞[. Minimum f(0) = -1.
Calculer la limite de x²e⁻ˣ quand x→+∞.
Correction
x²e⁻ˣ = x²/eˣ. Par croissances comparées, eˣ l'emporte sur tout polynôme → x²/eˣ → 0.
Résoudre e²ˣ - eˣ - 6 = 0.
Correction
Poser X=eˣ>0 : X²-X-6=0 → (X-3)(X+2)=0. X=3 → eˣ=3 → x=ln3. X=-2 impossible (eˣ>0). Solution : x=ln3.