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La fonction logarithme est la réciproque de l'exponentielle.
🔹 Définition :
ln(x) est défini pour x > 0 tel que : e^(ln x) = x et ln(eˣ) = x
🔹 Propriétés algébriques :
• ln(ab) = ln(a) + ln(b)
• ln(a/b) = ln(a) - ln(b)
• ln(aⁿ) = n·ln(a)
• ln(1) = 0 ; ln(e) = 1
• ln(1/a) = -ln(a)
• ln(√a) = ln(a)/2
🔹 Dérivée :
• (ln x)' = 1/x (x > 0)
• (ln u)' = u'/u (u > 0)
• Ex : (ln(3x+1))' = 3/(3x+1)
🔹 Variations et limites :
• ln est strictement croissante sur ]0 ; +∞[
• lim(x→0⁺) ln(x) = -∞
• lim(x→+∞) ln(x) = +∞
• ln(x) < 0 pour x ∈ ]0;1[ ; ln(x) > 0 pour x > 1
🔹 Croissances comparées :
• ln(x)/xⁿ → 0 quand x → +∞
• x·ln(x) → 0 quand x → 0⁺
📝 Simplifier :
1. ln(6) = ln(2)+ln(3)
2. ln(1/5) = -ln(5)
3. ln(e³) = 3
4. e^(2ln3) = e^(ln9) = 9
📝 Dériver :
1. f(x) = ln(2x+5) → f'(x) = 2/(2x+5)
2. g(x) = x·ln(x) → g'(x) = ln(x)+1
3. h(x) = ln(x²+1) → h'(x) = 2x/(x²+1)
📝 Résoudre ln(x+2) + ln(x-1) = ln(4) :
ln((x+2)(x-1)) = ln4 (si x>1)
(x+2)(x-1) = 4 → x²+x-2 = 4 → x²+x-6 = 0
(x+3)(x-2) = 0 → x=-3 (rejeté, hors domaine) ou x=2 ✓
Résoudre ln(x) = 3.
Correction
ln(x) = 3 ↔ x = e³.
Résoudre ln(2x-1) > 0.
Correction
Condition : 2x-1 > 0 → x > 1/2. ln(2x-1) > 0 ↔ 2x-1 > 1 ↔ x > 1. Solution : ]1;+∞[.
Simplifier ln(√e / e²).
Correction
ln(√e) - ln(e²) = (1/2)ln(e) - 2ln(e) = 1/2 - 2 = -3/2.
Étudier les variations de f(x) = ln(x)/x sur ]0;+∞[.
Correction
f'(x) = (1/x·x - ln(x)·1)/x² = (1-ln(x))/x². f'(x)=0 ↔ ln(x)=1 ↔ x=e. f'(x)>0 sur ]0;e[, f'(x)<0 sur ]e;+∞[. Maximum f(e)=1/e.
Calculer la limite de x·ln(x) quand x→0⁺.
Correction
x·ln(x) = ln(x)/(1/x). Les deux tendent vers -∞/+∞. Par croissances comparées (ou règle de l'Hôpital) : ln(x)/(1/x) → 0. Donc x·ln(x) → 0.