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La loi binomiale modélise les expériences répétées à deux issues.
🔹 Schéma de Bernoulli :
Épreuve de Bernoulli : deux issues — succès (p) et échec (1-p = q)
🔹 Variable aléatoire :
X est une variable aléatoire si elle prend des valeurs numériques selon le résultat d'une expérience aléatoire.
🔹 Loi binomiale B(n, p) :
X = nombre de succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes
P(X = k) = C(n,k) × pᵏ × (1-p)ⁿ⁻ᵏ
• k = 0, 1, ..., n
• C(n,k) = n! / (k!(n-k)!) (coefficient binomial)
🔹 Espérance et variance :
• E(X) = np (espérance = valeur moyenne)
• V(X) = np(1-p) (variance)
• σ(X) = √(np(1-p)) (écart-type)
🔹 Lecture : espérance = nombre moyen de succès attendu sur n épreuves
🔹 Coefficients binomiaux C(n,k) :
• C(n,0) = 1 ; C(n,n) = 1
• C(n,1) = n
• C(n,k) = C(n,n-k)
• Triangle de Pascal : C(n+1,k) = C(n,k-1) + C(n,k)
📝 On tire 5 fois une pièce équilibrée (p=1/2).
X = nombre de faces. X ∼ B(5 ; 1/2)
P(X=3) = C(5,3)×(1/2)³×(1/2)² = 10×(1/32) = 10/32 = 5/16
E(X) = 5×(1/2) = 2,5
V(X) = 5×(1/2)×(1/2) = 5/4
📝 Une urne contient 3 boules rouges et 7 bleues.
On tire avec remise 4 fois. P(rouge) = 3/10.
X = nombre de boules rouges. X ∼ B(4 ; 3/10)
P(X=2) = C(4,2)×(0,3)²×(0,7)² = 6×0,09×0,49 = 0,2646
E(X) = 4×0,3 = 1,2
Calculer C(6,2) et l'interpréter.
Correction
C(6,2) = 6!/(2!×4!) = 30/2 = 15. C'est le nombre de façons de choisir 2 éléments parmi 6.
X ∼ B(10; 0,4). Calculer P(X=0) et P(X≥1).
Correction
P(X=0) = C(10,0)×0,4⁰×0,6¹⁰ = 0,6¹⁰ ≈ 0,006. P(X≥1) = 1-P(X=0) ≈ 0,994.
Dans un groupe, 30% des élèves ont le permis. On interroge 8 élèves. Quelle est l'espérance du nombre d'élèves avec permis ?
Correction
X ∼ B(8; 0,3). E(X) = 8×0,3 = 2,4 élèves en moyenne.
Quelle est la différence entre espérance et probabilité ?
Correction
La probabilité est la chance qu'un événement précis se réalise (P(X=k)). L'espérance est la valeur moyenne que prend X sur de nombreuses répétitions de l'expérience. Elle ne correspond pas forcément à une valeur que X peut prendre.
Démontrer que la somme des probabilités de la loi binomiale vaut 1.
Correction
Σ P(X=k) = Σ C(n,k)pᵏqⁿ⁻ᵏ = (p+q)ⁿ = 1ⁿ = 1 (binôme de Newton avec p+q=1).