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Les nombres complexes étendent l'ensemble des réels pour permettre de résoudre x²+1=0.
🔹 Définition :
i est le nombre imaginaire tel que i² = -1
z = a + ib, a ∈ ℝ (partie réelle), b ∈ ℝ (partie imaginaire)
🔹 Opérations :
• Addition : (a+ib) + (c+id) = (a+c) + i(b+d)
• Multiplication : (a+ib)(c+id) = (ac-bd) + i(ad+bc)
• Conjugué : z̄ = a - ib
• Module : |z| = √(a²+b²)
• Division : z/z' = z×z̄'/(|z'|²)
🔹 Propriétés du conjugué :
• z × z̄ = |z|² = a²+b²
• z + z̄ = 2a (réel)
• z est réel ⟺ z = z̄
• z est imaginaire pur ⟺ z = -z̄
🔹 Représentation dans le plan complexe :
z = a+ib ↔ point M(a;b) dans le plan
|z| = distance de M à l'origine O
🔹 Forme trigonométrique :
z = r(cos θ + i sin θ) avec r = |z| et θ = argument de z
📝 z₁ = 3+2i, z₂ = 1-i
1. z₁+z₂ = 4+i
2. z₁×z₂ = (3+2i)(1-i) = 3-3i+2i-2i² = 3-i+2 = 5-i
3. |z₁| = √(9+4) = √13
4. z̄₁ = 3-2i
5. z₁/z₂ = (3+2i)(1+i)/((1-i)(1+i)) = (3+3i+2i+2i²)/(1+1)
= (3+5i-2)/2 = (1+5i)/2 = 1/2 + (5/2)i
📝 Résoudre z² + 2z + 5 = 0 :
Δ = 4-20 = -16 < 0
z = (-2 ± √(-16))/2 = (-2 ± 4i)/2 = -1 ± 2i
Calculer i², i³, i⁴, i⁵.
Correction
i²=-1, i³=i²×i=-i, i⁴=(i²)²=1, i⁵=i⁴×i=i. La suite se répète avec période 4.
z = 2-3i. Calculer z×z̄ et |z|.
Correction
z×z̄ = (2-3i)(2+3i) = 4+9 = 13 = |z|². Donc |z| = √13.
Résoudre z² + 4 = 0.
Correction
z² = -4 → z = ±2i.
Écrire z = 1+i√3 sous forme trigonométrique.
Correction
r = |z| = √(1+3) = 2. cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 → θ = π/3. z = 2(cos(π/3)+i sin(π/3)).
Montrer que si z est solution de az²+bz+c=0 (a,b,c réels), alors z̄ est aussi solution.
Correction
az²+bz+c = 0. Conjuguons : ā z̄²+b̄z̄+c̄ = 0. Comme a,b,c réels → ā=a, b̄=b, c̄=c. Donc az̄²+bz̄+c = 0. z̄ est bien solution.