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Cette leçon récapitule les notions fondamentales de 1ère et prépare le passage en Terminale.
🔹 Algèbre :
✓ Trinôme du 2nd degré : Δ, racines, factorisation, signe
✓ Systèmes d'équations
✓ Inéquations du 2nd degré (tableau de signes)
🔹 Analyse :
✓ Dérivation : règles, tangente, applications
✓ Variations et extrema
✓ Fonctions exponentielle et logarithme
✓ Primitives et intégrales
🔹 Géométrie :
✓ Produit scalaire et applications
✓ Géométrie dans l'espace
✓ Coniques et droites
🔹 Probabilités et dénombrement :
✓ Loi binomiale B(n,p)
✓ Espérance et variance
✓ Arrangements et combinaisons
🔹 Trigonométrie :
✓ Formules d'addition
✓ Équations trigonométriques
🔹 Erreurs classiques :
• Oublier de vérifier les conditions de définition (ln, √)
• Confondre extremum et valeur nulle de la dérivée
• Oublier la valeur absolue dans les aires
• Mauvaise lecture du tableau de signe du trinôme
📝 Exercice récapitulatif :
f(x) = (x²-1)eˣ
1. Domaine : ℝ
2. Dérivée :
f'(x) = 2xeˣ + (x²-1)eˣ = eˣ(x²+2x-1)
3. Signe de f'(x) (eˣ > 0 toujours) :
Étudier x²+2x-1 = 0 : Δ = 4+4 = 8 → x = -1±√2
| x | -∞ -1-√2 -1+√2 +∞ |
| f'(x)| + 0 - 0 + |
4. Variations :
Max local en x = -1-√2 ≈ -2,41
Min local en x = -1+√2 ≈ 0,41
5. Limites : x→-∞ : f(x)→0 (croissances comparées) ; x→+∞ : f(x)→+∞
📝 Probabilité :
20% des produits sont défectueux. On contrôle 10 produits.
X ∼ B(10; 0,2). E(X) = 2. P(X≥1) = 1-(0,8)¹⁰ ≈ 0,893
f(x) = ln(x²-4). Donner le domaine de définition.
Correction
x²-4 > 0 → (x-2)(x+2) > 0 → x < -2 ou x > 2. Df = ]-∞;-2[ ∪ ]2;+∞[.
Résoudre dans ℝ : e²ˣ - 5eˣ + 6 = 0.
Correction
X=eˣ : X²-5X+6=0 → (X-2)(X-3)=0. X=2→x=ln2 ; X=3→x=ln3.
Calculer ∫[0;1] xe^(x²) dx.
Correction
u=x², u'=2x → xe^(x²) = (1/2)(2x)e^(x²) = (1/2)(eˣ²)'. ∫[0;1] = [e^(x²)/2]₀¹ = e/2 - 1/2 = (e-1)/2.
X ∼ B(8;0,25). Calculer P(X=2) et E(X).
Correction
P(X=2) = C(8,2)(0,25)²(0,75)⁶ = 28×0,0625×0,1779 ≈ 0,311. E(X) = 8×0,25 = 2.
Résoudre le système : { x+y=5 et x²-y=1 }.
Correction
y=5-x → x²-(5-x)=1 → x²+x-6=0 → (x+3)(x-2)=0. x=2,y=3 ou x=-3,y=8.