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La notion de limite est centrale en analyse de Terminale. Limite d'une fonction en un point a : lim(x→a) f(x) = L signifie que f(x) se rapproche de L quand x tend vers a. Limite infinie : lim(x→a) f(x) = +∞ ou −∞. Limite à l'infini : lim(x→+∞) f(x) ou lim(x→−∞) f(x). Opérations sur les limites : somme, produit, quotient (formes indéterminées : ∞−∞, 0×∞, ∞/∞, 0/0). Lever une indétermination : factoriser, conjuguer, diviser par le terme dominant. Continuité : f est continue en a si lim(x→a) f(x) = f(a). Théorème des valeurs intermédiaires (TVI) : si f est continue sur [a,b] et k est entre f(a) et f(b), alors il existe c ∈ ]a,b[ tel que f(c) = k. Application : existence de solutions d'équations. Asymptotes : horizontale (limite finie à ±∞), verticale (limite infinie en un point), oblique.
Exercice 1 : Calculez les limites suivantes.
1. lim(x→+∞) (3x² − 2x + 1) / (x² + 5)
2. lim(x→2) (x² − 4) / (x − 2)
3. lim(x→+∞) (√(x² + 1) − x)
4. lim(x→0⁺) 1/x
Exercice 2 : Appliquer le TVI.
Montrez que f(x) = x³ − 2x − 5 admet au moins une racine sur [2 ; 3].
Comment lever l'indétermination ∞/∞ ?
Correction
Diviser le numérateur et le dénominateur par le terme de plus haut degré au dénominateur. Exemple : lim(x→+∞) (3x² + x) / (x² − 1) = lim (3 + 1/x) / (1 − 1/x²) = 3/1 = 3.
Qu'est-ce qu'une asymptote oblique ?
Correction
La droite y = ax + b est asymptote oblique à la courbe de f en +∞ si lim(x→+∞) [f(x) − (ax + b)] = 0. On trouve a = lim f(x)/x puis b = lim [f(x) − ax].
Énoncer le théorème des valeurs intermédiaires et son application.
Correction
Si f est continue sur [a, b], alors f prend toutes les valeurs entre f(a) et f(b). En particulier, si f(a) et f(b) sont de signes opposés, il existe c ∈ ]a, b[ tel que f(c) = 0. Application : montrer qu'une équation admet une solution dans un intervalle.