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En Terminale, on approfondit la dérivation vue en 1ère. Rappel des règles : (u+v)' = u'+v' ; (ku)' = ku' ; (uv)' = u'v + uv' ; (u/v)' = (u'v − uv') / v². Dérivées des fonctions usuelles : (xⁿ)' = nxⁿ⁻¹ ; (√x)' = 1/(2√x) ; (eˣ)' = eˣ ; (ln x)' = 1/x ; (sin x)' = cos x ; (cos x)' = −sin x. Dérivée de la composée : (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x)). Ex : (e^(2x))' = 2e^(2x) ; (ln(x²+1))' = 2x/(x²+1) ; (sin(3x))' = 3cos(3x). Applications : étude des variations d'une fonction, calcul des extrema, optimisation (problèmes de minimum/maximum), équation de la tangente en un point. Équation de la tangente en x₀ : y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀).
Exercice 1 : Calculez les dérivées.
1. f(x) = (2x + 1)³
2. g(x) = e^(x² − 3x)
3. h(x) = ln(√(x + 2))
4. k(x) = x · e^(−x)
Exercice 2 : Équation de tangente.
Soit f(x) = x² − 3x + 1. Déterminez l'équation de la tangente à la courbe de f au point d'abscisse x₀ = 2.
Comment dériver une fonction composée ?
Correction
On utilise la règle (f∘g)'(x) = g'(x) × f'(g(x)). Identifier la fonction 'extérieure' f et la fonction 'intérieure' g. Exemple : h(x) = sin(3x + 1). Ici g(x) = 3x+1, f(u) = sin(u). h'(x) = g'(x) × f'(g(x)) = 3 × cos(3x + 1).
Comment trouver les extrema locaux d'une fonction ?
Correction
1. Calculer f'(x). 2. Résoudre f'(x) = 0 pour trouver les points critiques. 3. Étudier le signe de f'(x) : si f' change de + à −, c'est un maximum ; de − à +, c'est un minimum. 4. Dresser le tableau de variations complet.
Comment optimiser une quantité avec la dérivée ?
Correction
Modéliser la quantité à optimiser comme une fonction f(x). Déterminer le domaine de validité. Calculer f'(x), résoudre f'(x) = 0. Vérifier que c'est bien un max ou un min en étudiant le signe de f'. Conclure dans le contexte du problème.