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Fonction exponentielle : f(x) = eˣ. Propriétés : eˣ > 0 pour tout x ; e⁰ = 1 ; e^(a+b) = eᵃ × eᵇ ; e^(−x) = 1/eˣ. lim(x→−∞) eˣ = 0 (asymptote y = 0) ; lim(x→+∞) eˣ = +∞. Croissances comparées : lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 (l'exponentielle l'emporte sur tout polynôme). Fonction logarithme : f(x) = ln(x), définie pour x > 0. Propriétés : ln(ab) = ln a + ln b ; ln(a/b) = ln a − ln b ; ln(aⁿ) = n·ln a ; ln(e) = 1 ; ln(1) = 0. lim(x→0⁺) ln(x) = −∞ ; lim(x→+∞) ln(x) = +∞. Croissances comparées : lim(x→+∞) ln(x)/x = 0. ln et exp sont des fonctions réciproques : ln(eˣ) = x et e^(ln x) = x (pour x > 0). Résolution d'équations : eˣ = k ↔ x = ln k (k > 0) ; ln x = k ↔ x = eᵏ.
Exercice 1 : Simplifiez.
1. ln(e³) + ln(e⁻¹)
2. e^(2ln3)
3. ln(8) − 2ln(2)
Exercice 2 : Résolvez les équations.
1. e^(2x − 1) = 5
2. ln(x + 1) + ln(x − 1) = ln(3)
3. e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0
Exercice 3 : Étudiez les variations de f(x) = x·ln(x) sur ]0 ; +∞[.
Comment résoudre une équation exponentielle du type e^(2x) − 3eˣ + 2 = 0 ?
Correction
Poser u = eˣ (avec u > 0). L'équation devient u² − 3u + 2 = 0. Discriminant : Δ = 9 − 8 = 1. u₁ = 2, u₂ = 1. Donc eˣ = 2 → x = ln 2 ; et eˣ = 1 → x = 0.
Qu'est-ce que les croissances comparées ?
Correction
Ce sont des limites montrant la 'vitesse' relative de croissance : lim(x→+∞) xⁿ/eˣ = 0 : l'exponentielle croit plus vite que tout polynôme. lim(x→+∞) ln(x)/xⁿ = 0 : le logarithme croit moins vite que tout monôme. Ces résultats servent à lever des formes indéterminées.
Comment résoudre ln(x+1) + ln(x−1) = ln(3) ?
Correction
Conditions d'existence : x + 1 > 0 et x − 1 > 0 → x > 1. ln((x+1)(x−1)) = ln 3 → (x+1)(x−1) = 3 → x² − 1 = 3 → x² = 4 → x = ±2. Comme x > 1, la solution est x = 2.