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Suites arithmétiques : uₙ = u₀ + n·r. Somme : Sₙ = (n+1)(u₀ + uₙ)/2. Suites géométriques : uₙ = u₀ × qⁿ. Somme : Sₙ = u₀ × (1 − qⁿ⁺¹)/(1 − q) si q ≠ 1. Convergence d'une suite : (uₙ) converge vers L si lim uₙ = L. Suite monotone et bornée → convergente. Suites définies par récurrence : uₙ₊₁ = f(uₙ). Étude : point fixe (f(L) = L), sens de variation, convergence. Suite adjacentes : (uₙ) et (vₙ) sont adjacentes si l'une est croissante, l'autre décroissante, et lim(vₙ − uₙ) = 0. Elles convergent vers la même limite. Raisonnement par récurrence : 1. Initialisation : vérifier que la propriété P(0) est vraie. 2. Hérédité : supposer P(n) vraie et montrer P(n+1). 3. Conclusion.
Exercice 1 : Suite récurrente.
Soit (uₙ) définie par u₀ = 1 et uₙ₊₁ = (uₙ + 3) / 2.
a) Montrer que la suite est bornée (0 ≤ uₙ ≤ 3).
b) Montrer qu'elle est croissante.
c) En déduire qu'elle converge et trouver sa limite.
Exercice 2 : Récurrence.
Démontrez par récurrence que pour tout n ≥ 1 : 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2.
Comment trouver la limite d'une suite définie par récurrence ?
Correction
Si la suite converge vers L, alors L vérifie L = f(L) (point fixe). On résout f(L) = L pour trouver les candidats limites. On confirme la convergence en montrant que la suite est monotone et bornée.
Comment structurer un raisonnement par récurrence ?
Correction
1. Initialisation : vérifier que P(0) (ou P(1)) est vraie par calcul direct. 2. Hérédité : supposer que P(n) est vraie (hypothèse de récurrence), puis démontrer que P(n+1) est vraie en utilisant cette hypothèse. 3. Conclusion : par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout n.
Quelle est la différence entre une suite convergente et une suite bornée ?
Correction
Une suite bornée est encadrée : il existe M tel que |uₙ| ≤ M pour tout n. Une suite convergente tend vers une limite finie. Toute suite convergente est bornée, mais une suite bornée n'est pas nécessairement convergente (ex : uₙ = (−1)ⁿ est bornée mais oscille entre −1 et 1).