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Primitive : F est une primitive de f sur I si F'(x) = f(x) pour tout x ∈ I. Toute fonction continue sur un intervalle admet des primitives. Primitives usuelles : ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C (n ≠ −1) ; ∫1/x dx = ln|x| + C ; ∫eˣ dx = eˣ + C ; ∫sin x dx = −cos x + C ; ∫cos x dx = sin x + C. Intégrale définie : ∫[a,b] f(x) dx = F(b) − F(a) (F primitive de f). Propriétés : linéarité (∫(αf + βg) = α∫f + β∫g) ; relation de Chasles (∫[a,c] = ∫[a,b] + ∫[b,c]). Interprétation géométrique : si f ≥ 0 sur [a,b], ∫[a,b] f dx = aire sous la courbe. Aire entre deux courbes : A = ∫[a,b] |f(x) − g(x)| dx. Intégration par parties : ∫u'v = [uv] − ∫uv'.
Exercice 1 : Calculez les primitives.
1. f(x) = 3x² + 2x − 1
2. g(x) = e^(2x)
3. h(x) = 1/(x + 1)
4. k(x) = sin(3x)
Exercice 2 : Intégrales définies.
1. ∫[0,2] (x² + 1) dx
2. ∫[1,e] 1/x dx
Exercice 3 : Intégration par parties.
Calculez ∫[0,1] x·eˣ dx.
Comment calculer une intégrale par parties ?
Correction
Formule : ∫u'v dx = [uv] − ∫uv' dx. Choix stratégique : v doit être facile à dériver, u' facile à intégrer. Exemple : ∫x·eˣ dx. Poser v = x (v' = 1) et u' = eˣ (u = eˣ). ∫x·eˣ dx = x·eˣ − ∫eˣ dx = x·eˣ − eˣ + C = eˣ(x − 1) + C.
Comment calculer l'aire entre deux courbes ?
Correction
Trouver les points d'intersection de f et g en résolvant f(x) = g(x). Sur chaque sous-intervalle, identifier quelle fonction est au-dessus. A = ∫[a,b] (f(x) − g(x)) dx si f ≥ g sur [a, b], sinon A = ∫|f − g| dx. L'aire est toujours positive.
Quelle est l'interprétation géométrique de l'intégrale ?
Correction
Si f(x) ≥ 0 sur [a, b], ∫[a,b] f(x) dx représente l'aire de la région délimitée par la courbe de f, l'axe des abscisses, et les droites x = a et x = b. Si f prend des valeurs négatives, l'intégrale peut être négative ; pour l'aire réelle, on prend ∫|f(x)| dx.