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Cercle trigonométrique : cercle de rayon 1 centré à l'origine. À tout réel x est associé un point M(cos x, sin x). Valeurs remarquables : x = 0 : (1, 0) ; x = π/6 : (√3/2, 1/2) ; x = π/4 : (√2/2, √2/2) ; x = π/3 : (1/2, √3/2) ; x = π/2 : (0, 1) ; x = π : (−1, 0). Parité : cos est paire (cos(−x) = cos x) ; sin est impaire (sin(−x) = −sin x). Périodicité : cos et sin ont la période 2π. tan = sin/cos, période π. Formules d'addition : cos(a+b) = cos a·cos b − sin a·sin b ; sin(a+b) = sin a·cos b + cos a·sin b. Formules de duplication : cos(2a) = cos²a − sin²a = 2cos²a − 1 = 1 − 2sin²a ; sin(2a) = 2 sin a·cos a. Résolution d'équations : sin x = k ↔ x = arcsin k + 2kπ ou x = π − arcsin k + 2kπ. cos x = k ↔ x = ±arccos k + 2kπ. Linéarisation : cos²x = (1 + cos 2x)/2 ; sin²x = (1 − cos 2x)/2.
Exercice 1 : Calculez.
1. cos(π/12) en utilisant cos(π/3 − π/4)
2. sin(2π/3)
3. cos²(π/8) à l'aide de la linéarisation
Exercice 2 : Résolvez sur [0 ; 2π].
1. sin x = √3/2
2. cos(2x) = 1/2
3. 2cos x − 1 = 0
Comment démontrer que cos²x + sin²x = 1 ?
Correction
C'est la relation fondamentale de la trigonométrie. Géométriquement, M(cos x, sin x) est sur le cercle trigonométrique de rayon 1 centré en O, donc OM² = cos²x + sin²x = 1² = 1.
Comment résoudre cos(2x) = 1/2 sur [0 ; 2π] ?
Correction
cos(2x) = 1/2 → 2x = ±π/3 + 2kπ. Donc x = ±π/6 + kπ. Solutions sur [0 ; 2π] : x = π/6, x = 5π/6, x = π/6 + π = 7π/6, x = 11π/6. Vérifiez toujours que les solutions sont dans l'intervalle demandé.
À quoi sert la linéarisation en trigonométrie ?
Correction
La linéarisation transforme des puissances de cos et sin en sommes de fonctions trigonométriques. Elle est utile pour : calculer des intégrales (∫cos²x dx), résoudre des équations, et étudier des fonctions. Ex : cos²x = (1 + cos 2x)/2 → ∫cos²x dx = x/2 + sin(2x)/4 + C.