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Le produit scalaire de deux vecteurs u⃗ et v⃗ est un scalaire (nombre réel). Définitions : 1. u⃗·v⃗ = |u⃗|·|v⃗|·cos θ (θ = angle entre les vecteurs). 2. En coordonnées : u⃗(x₁, y₁)·v⃗(x₂, y₂) = x₁x₂ + y₁y₂. 3. Par polarisation : u⃗·v⃗ = ½(|u⃗+v⃗|² − |u⃗|² − |v⃗|²). Propriétés : commutatif (u⃗·v⃗ = v⃗·u⃗) ; bilinéaire ; u⃗·u⃗ = |u⃗|². Orthogonalité : u⃗ ⊥ v⃗ ↔ u⃗·v⃗ = 0. Applications géométriques : Calcul d'angle : cos θ = u⃗·v⃗ / (|u⃗|·|v⃗|). Projeté orthogonal. Équation cartésienne d'une droite : si n⃗(a, b) est un vecteur normal à la droite, alors la droite a pour équation ax + by + c = 0. Distance d'un point à une droite : d = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²).
Exercice 1 : Avec u⃗(3, −1) et v⃗(2, 4).
a) Calculez u⃗·v⃗.
b) u⃗ et v⃗ sont-ils orthogonaux ?
c) Calculez l'angle entre u⃗ et v⃗.
Exercice 2 : Équation de droite.
Donnez l'équation de la droite passant par A(1, 2) et de vecteur normal n⃗(3, −1).
Exercice 3 : Distance.
Calculez la distance du point P(4, 1) à la droite d'équation 3x − y + 2 = 0.
Pourquoi deux vecteurs sont-ils orthogonaux si leur produit scalaire est nul ?
Correction
u⃗·v⃗ = |u⃗|·|v⃗|·cos θ. Si u⃗·v⃗ = 0 et u⃗, v⃗ ≠ 0⃗, alors cos θ = 0, donc θ = π/2. Les vecteurs forment un angle droit, donc ils sont orthogonaux.
Comment trouver l'équation d'une droite connaissant un point et un vecteur normal ?
Correction
Si la droite passe par A(x₀, y₀) et admet n⃗(a, b) comme vecteur normal, son équation est a(x − x₀) + b(y − y₀) = 0, soit ax + by + c = 0 avec c = −ax₀ − by₀.
Comment calculer la distance d'un point à une droite ?
Correction
Si la droite a pour équation ax + by + c = 0 et P(x₀, y₀) est le point, d(P, droite) = |ax₀ + by₀ + c| / √(a² + b²). Exemple : d(P(4,1), 3x − y + 2 = 0) = |3×4 − 1 + 2| / √(9+1) = |13| / √10 = 13/√10.