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En Terminale, on travaille dans l'espace à 3 dimensions. Positions relatives de deux droites dans l'espace : sécantes, parallèles, ou gauches (non coplanaires). Positions relatives d'une droite et d'un plan : incluse dans le plan, parallèle au plan, ou sécante. Positions relatives de deux plans : parallèles ou sécants (intersection = une droite). Plan dans l'espace : défini par un point et un vecteur normal n⃗(a, b, c), équation : a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0. Vecteur normal : perpendiculaire à tous les vecteurs du plan. Orthogonalité dans l'espace : n⃗·u⃗ = 0 → n⃗ ⊥ u⃗. Volumes des solides : Sphère : V = (4/3)πR³, S = 4πR². Cône : V = (1/3)πR²h. Cylindre : V = πR²h. Pyramide : V = (1/3)·base·h. Coordonnées dans l'espace : un point M(x, y, z), vecteur MM'(x'−x, y'−y, z'−z).
Exercice 1 : Dans un repère orthonormé de l'espace, soient A(1, 0, 2), B(3, 1, 0), C(0, 2, 1).
a) Calculez les vecteurs AB⃗ et AC⃗.
b) Vérifiez que n⃗(2, 5, 5) est normal au plan ABC.
c) Déduisez l'équation du plan ABC.
Exercice 2 : Un cône de rayon R = 5 cm et de hauteur h = 12 cm. Calculez son volume et son aire latérale.
Comment reconnaître que deux droites sont gauches ?
Correction
Deux droites de l'espace sont gauches si elles ne sont ni parallèles ni sécantes — elles ne sont pas dans le même plan. Pour vérifier, on peut chercher si le système d'équations paramétrique admet une solution ; s'il n'en a pas et que les directrices ne sont pas colinéaires, les droites sont gauches.
Comment trouver l'équation d'un plan dans l'espace ?
Correction
Méthode 1 : connaissant un point A(x₀,y₀,z₀) et le vecteur normal n⃗(a,b,c), l'équation est a(x−x₀) + b(y−y₀) + c(z−z₀) = 0. Méthode 2 : connaissant 3 points non alignés A, B, C, calculer AB⃗ × AC⃗ (produit vectoriel) pour obtenir le vecteur normal, puis appliquer la méthode 1.
Quelle est la formule du volume d'une sphère et comment la retrouver ?
Correction
V = (4/3)πR³. On peut la retrouver par intégration : une sphère de rayon R est obtenue en faisant tourner le demi-disque autour de l'axe des x. V = π ∫[−R,R] (R² − x²) dx = π [R²x − x³/3]₋ᴿᴿ = π(2R³ − 2R³/3) = (4/3)πR³.