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Variable aléatoire discrète X : prend des valeurs x₁, x₂, ... avec les probabilités p₁, p₂, ... ∑pᵢ = 1. Espérance : E(X) = ∑xᵢ·pᵢ (moyenne théorique). Variance : V(X) = E(X²) − [E(X)]² = ∑pᵢ(xᵢ − E(X))². Écart-type : σ(X) = √V(X). Loi binomiale B(n, p) : modélise le nombre de succès en n épreuves de Bernoulli indépendantes. P(X = k) = C(n,k) · pᵏ · (1−p)ⁿ⁻ᵏ. E(X) = np. V(X) = np(1−p). Loi normale N(μ, σ²) : distribution symétrique en cloche. P(μ−σ ≤ X ≤ μ+σ) ≈ 0,68 ; P(μ−2σ ≤ X ≤ μ+2σ) ≈ 0,95. Centrage-réduction : Z = (X − μ)/σ suit N(0, 1). Intervalle de fluctuation et estimation (statistique inférentielle).
Exercice 1 : Loi binomiale.
Un QCM comporte 10 questions, chacune avec 4 choix dont un seul correct. X = nombre de bonnes réponses en répondant au hasard.
a) Quelle est la loi de X ?
b) Calculez P(X = 3).
c) Calculez E(X) et σ(X).
Exercice 2 : Variable aléatoire.
X prend les valeurs 1, 2, 3 avec P(X=1) = 0,3 ; P(X=2) = 0,5 ; P(X=3) = 0,2. Calculez E(X) et V(X).
Quand utilise-t-on la loi binomiale ?
Correction
On utilise la loi binomiale B(n, p) quand : (1) l'expérience consiste en n épreuves identiques et indépendantes ; (2) chaque épreuve a deux issues : succès (probabilité p) ou échec (1−p) ; (3) on compte le nombre total de succès X. Ex : lancer une pièce 10 fois, tirer au hasard avec remise, taux de défauts.
Qu'est-ce que l'espérance d'une variable aléatoire ?
Correction
L'espérance E(X) est la valeur moyenne théorique que prend X sur un grand nombre d'expériences. C'est la moyenne pondérée des valeurs par leurs probabilités. Si X ∼ B(n, p), E(X) = np. Ex : E(X) = 10 × 0,25 = 2,5 bonnes réponses en moyenne au QCM ci-dessus.
Comment utiliser la loi normale pour calculer des probabilités ?
Correction
Si X ∼ N(μ, σ²), on centre-réduit : Z = (X − μ)/σ ∼ N(0, 1). On utilise la table de la loi normale centrée réduite pour lire P(Z ≤ z). Règle empirique : P(|X − μ| ≤ σ) ≈ 68% ; P(|X − μ| ≤ 2σ) ≈ 95% ; P(|X − μ| ≤ 3σ) ≈ 99,7%.