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La statistique inférentielle permet de tirer des conclusions sur une population à partir d'un échantillon. Fréquence observée f̂ = k/n (k = effectif du caractère dans l'échantillon de taille n). Fluctuation d'échantillonnage : f̂ varie d'un échantillon à l'autre. Intervalle de fluctuation au niveau 95% (pour un caractère de proportion p) : [p − 1/√n ; p + 1/√n] (approximation valide si n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1−p) ≥ 5). Intervalle de confiance au niveau 95% (estimation de p à partir de f̂) : [f̂ − 1/√n ; f̂ + 1/√n]. Test d'hypothèse : H₀ (hypothèse nulle) contre H₁ (hypothèse alternative). Région de rejet au seuil α : si f̂ est hors de l'intervalle de fluctuation, on rejette H₀. Loi des grands nombres : quand n → ∞, f̂ → p (la fréquence converge vers la probabilité réelle).
Exercice 1 : Intervalle de confiance.
Dans un sondage de 400 personnes, 240 approuvent une mesure.
a) Calculez la fréquence f̂.
b) Donnez un intervalle de confiance au niveau 95% pour la proportion p.
Exercice 2 : Test d'hypothèse.
Un fabricant affirme que 80% de ses produits sont conformes. Dans un échantillon de 100 produits, 72 sont conformes. Peut-on rejeter la déclaration du fabricant au seuil de 5% ?
Quelle est la différence entre un intervalle de fluctuation et un intervalle de confiance ?
Correction
L'intervalle de fluctuation est construit à partir de p (probabilité théorique connue) pour encadrer les fréquences observées f̂. L'intervalle de confiance est construit à partir de f̂ (fréquence observée) pour estimer la proportion réelle inconnue p. Le premier est probabiliste ; le second est une estimation statistique.
Comment interpréter un intervalle de confiance à 95% ?
Correction
Un intervalle de confiance à 95% signifie que si on répète l'expérience un grand nombre de fois, 95% des intervalles construits contiendront la vraie valeur de p. Cela ne veut PAS dire qu'il y a 95% de chances que p soit dans un intervalle particulier.
Comment effectuer un test d'hypothèse sur une proportion ?
Correction
1. Poser H₀ : p = p₀ (valeur hypothétique). 2. Construire l'intervalle de fluctuation [p₀ − 1/√n ; p₀ + 1/√n] au seuil 5%. 3. Observer f̂. Si f̂ est dans l'intervalle → on ne rejette pas H₀. Si f̂ est hors de l'intervalle → on rejette H₀ (résultat significatif au seuil 5%).