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Un nombre complexe s'écrit z = a + bi où a = Re(z), b = Im(z), i² = −1. Conjugué : z̄ = a − bi. Module : |z| = √(a² + b²). Opérations : addition, soustraction, multiplication, division (multiplier par le conjugué). Forme trigonométrique (polaire) : z = r(cos θ + i sin θ), r = |z|, θ = arg(z). Formule d'Euler : e^(iθ) = cos θ + i sin θ. Forme exponentielle : z = r·e^(iθ). Multiplication : |z₁z₂| = |z₁|·|z₂| ; arg(z₁z₂) = arg z₁ + arg z₂. Puissance : zⁿ = rⁿ·e^(inθ) = rⁿ(cos(nθ) + i sin(nθ)) (formule de Moivre). Formule de Moivre : (cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Racines nèmes : z a exactement n racines nèmes dans ℂ. Équation du 2nd degré dans ℂ : toujours deux solutions (même si Δ < 0) ; si Δ < 0 : z = (−b ± i√|Δ|) / 2a.
Exercice 1 : z₁ = 1 + i√3, z₂ = 1 − i.
a) Calculez z₁·z₂ et z₁/z₂.
b) Donnez la forme trigonométrique de z₁ et z₂.
c) Calculez z₁⁶ à l'aide de la formule de Moivre.
Exercice 2 : Résolvez dans ℂ.
z² − 2z + 5 = 0.
Comment passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique ?
Correction
Calculer r = |z| = √(a² + b²). Puis θ = arg(z) vérifie cos θ = a/r et sin θ = b/r. Exemple : z = 1 + i√3. r = √(1 + 3) = 2. cos θ = 1/2, sin θ = √3/2 → θ = π/3. Donc z = 2(cos(π/3) + i sin(π/3)) = 2e^(iπ/3).
Énoncer la formule de Moivre et ses applications.
Correction
(cos θ + i sin θ)ⁿ = cos(nθ) + i sin(nθ). Applications : calculer des puissances de complexes, exprimer cos(nθ) et sin(nθ) en fonction de cos θ et sin θ (linéarisation), trouver les racines nèmes de l'unité.
Comment résoudre z² − 2z + 5 = 0 dans ℂ ?
Correction
Δ = 4 − 20 = −16 < 0. √Δ = i√16 = 4i. z₁ = (2 + 4i)/2 = 1 + 2i ; z₂ = (2 − 4i)/2 = 1 − 2i. Vérification : z₁ et z₂ sont conjugués (normal pour un polynôme à coefficients réels).