Retour au programme
Le dénombrement compte le nombre d'éléments d'un ensemble fini. Règle du produit : si une opération se décompose en k étapes indépendantes avec n₁, n₂, ..., nₖ choix à chaque étape, le nombre total est n₁ × n₂ × ... × nₖ. Règle de la somme : événements incompatibles → on additionne. Factorielle : n! = n × (n−1) × ... × 2 × 1. 0! = 1. Arrangements : Aₙᵖ = n!/(n−p)! (p éléments ordonnés parmi n). Permutations : n! (arrangements de tous les éléments). Combinaisons : C(n,k) = n! / (k!(n−k)!) = Cₙᵏ (k éléments non ordonnés parmi n). Triangle de Pascal : C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k). Formule du binôme : (a+b)ⁿ = ∑ₖ C(n,k)·aᵏ·bⁿ⁻ᵏ. Lien avec les probabilités : P(X = k) pour la loi binomiale utilise C(n,k).
Exercice 1 : Calculs de base.
1. Calculez A₅³ et C₅³.
2. Combien de façons d'ordonner les lettres de DAKAR ?
3. Combien de comités de 3 personnes peut-on former parmi 8 candidats ?
Exercice 2 : Formule du binôme.
Développez (x + 1)⁴ à l'aide de la formule du binôme.
Exercice 3 : Probabilité.
Dans une urne : 4 boules rouges, 3 bleues, 2 vertes. On tire 3 boules sans remise. Quelle est la probabilité d'avoir exactement 2 rouges ?
Quelle est la différence entre arrangement et combinaison ?
Correction
Un arrangement tient compte de l'ordre : A(n,p) = n!/(n−p)!. Une combinaison ignore l'ordre : C(n,k) = n!/(k!(n−k)!). Ex : choisir un président et un vice-président parmi 5 → arrangement (ordre important). Choisir 2 membres d'un comité parmi 5 → combinaison (ordre sans importance).
Comment utiliser le triangle de Pascal ?
Correction
Le triangle de Pascal liste les coefficients C(n,k). La ligne n contient C(n,0), C(n,1), ..., C(n,n). Règle : chaque nombre est la somme des deux au-dessus. Utilité : développer (a+b)ⁿ rapidement. Ex : (a+b)⁴ = a⁴ + 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ (ligne 4 : 1,4,6,4,1).
Comment calculer une probabilité avec le dénombrement ?
Correction
P(A) = nombre de cas favorables / nombre de cas possibles. Cas possibles : C(9,3) = 84 (3 boules parmi 9). Cas favorables (2 rouges, 1 non-rouge) : C(4,2) × C(5,1) = 6 × 5 = 30. P = 30/84 = 5/14.