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Étude complète des fonctions sin, cos, tan et leurs réciproques. Fonction sinus : domaine ℝ, image [−1, 1], impaire, période 2π, dérivée cos x, maximums en π/2 + 2kπ, minimums en −π/2 + 2kπ. Fonction cosinus : domaine ℝ, image [−1, 1], paire, période 2π, dérivée −sin x, maximum en 2kπ, minimum en π + 2kπ. Fonction tangente : domaine ℝ\{π/2 + kπ}, impaire, période π, dérivée 1 + tan²x = 1/cos²x. Fonctions réciproques : arcsin (image [−π/2, π/2]), arccos (image [0, π]), arctan (image ]−π/2, π/2[). Transformations : amplitude, période, déphasage. f(x) = A·sin(ωx + φ) : amplitude A, période T = 2π/ω, phase initiale φ. Applications : modélisation de phénomènes périodiques (marées, courant alternatif, ondes).
Exercice 1 : Tracé et étude.
Soit f(x) = 2·sin(3x − π/4).
a) Quelle est l'amplitude ?
b) Quelle est la période ?
c) Pour quelle valeur de x la première valeur maximale est-elle atteinte ?
Exercice 2 : Résoudre sur [0 ; 2π].
tan x = −1.
Comment lire l'amplitude, la période et la phase dans f(x) = A·sin(ωx + φ) ?
Correction
Amplitude = |A| (valeur maximale de |f|). Période = 2π/ω (durée d'un cycle complet). Phase initiale = φ (décalage horizontal : la courbe est décalée de −φ/ω vers la droite). Ex : f(x) = 2·sin(3x − π/4) : amplitude 2, période 2π/3, phase initiale φ = −π/4 → décalage π/12.
Comment résoudre tan x = −1 sur [0 ; 2π] ?
Correction
tan x = −1 → x = arctan(−1) + kπ = −π/4 + kπ. Solutions sur [0 ; 2π] : k=1 → x = 3π/4 ; k=2 → x = 7π/4. Vérification : tan(3π/4) = −1 ✓ ; tan(7π/4) = −1 ✓.
Donner un exemple de modélisation par une fonction sinusoïdale.
Correction
La température moyenne T(t) à Dakar peut être modélisée par T(t) = 27 + 5·sin(2πt/12 − π/2) où t est le mois (t=1 en janvier). Amplitude 5°C (variation autour de 27°C), période 12 mois (annuelle), phase ajustée pour le minimum en janvier.