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Une matrice est un tableau rectangulaire de nombres. Notation : A = (aᵢⱼ) de dimension m×n (m lignes, n colonnes). Opérations : addition (même dimension), multiplication par un scalaire, produit matriciel AB (colonnes de A = lignes de B). (AB)ᵢⱼ = ∑ₖ aᵢₖ·bₖⱼ. Le produit matriciel n'est pas commutatif. Matrice carrée : m = n. Matrice identité Iₙ : diagonale de 1, reste 0. Matrice inverse : A·A⁻¹ = I. Existence : det(A) ≠ 0. Pour une matrice 2×2 : det([a,b;c,d]) = ad − bc. Inverse : A⁻¹ = (1/det) × [d,−b;−c,a]. Systèmes linéaires : AX = B → X = A⁻¹B (si A inversible). Méthode de Gauss (pivot) : élimination successive pour résoudre le système. Applications : modélisation économique (tableaux entrée-sortie), graphes, transformations géométriques.
Exercice 1 : Calcul matriciel.
A = [[1, 2], [3, 4]], B = [[0, 1], [2, −1]].
a) Calculez A + B et A × B.
b) Calculez det(A) et A⁻¹.
Exercice 2 : Système linéaire.
Résoudre par la méthode matricielle :
x + 2y = 5
3x + 4y = 11
Comment multiplier deux matrices ?
Correction
Le produit AB est possible si le nombre de colonnes de A = nombre de lignes de B. L'élément (i,j) de AB est le produit scalaire de la ligne i de A par la colonne j de B. Ex : A(2×2) × B(2×2) : (AB)₁₁ = a₁₁b₁₁ + a₁₂b₂₁. Attention : AB ≠ BA en général.
Comment trouver l'inverse d'une matrice 2×2 ?
Correction
Pour A = [[a,b],[c,d]], det(A) = ad − bc. Si det(A) ≠ 0, alors A⁻¹ = (1/det) × [[d,−b],[−c,a]]. Vérification : A × A⁻¹ = I₂.
Comment résoudre un système AX = B avec les matrices ?
Correction
Si A est inversible, X = A⁻¹ × B. Ex : système x + 2y = 5, 3x + 4y = 11. A = [[1,2],[3,4]], B = [[5],[11]]. det(A) = 4 − 6 = −2. A⁻¹ = −½ × [[4,−2],[−3,1]] = [[-2,1],[1.5,−0.5]]. X = A⁻¹B = [[-2×5 + 1×11],[1.5×5 − 0.5×11]] = [[1],[2.5]]... Vérification directe : x=1, y=2 → 1+4=5 ✓, 3+8=11 ✓.